Dane:

$m=10^{-3}\text{kg}$

$a=2\text{cm}=0,02\text{m}=2\cdot 10^{-2}\text{m}$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$I_{O_1}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie momentu bezwładności układu kulek, które są umieszczone w trójkącie równobocznym o promieniu $a$. Do wyznaczenia momentu bezwładności względem osi $O_1$ skorzystamy z addytywności momentu bezwładności, czyli całkowity moment bezwładności układu ciał jest równy sumie momentów bezwładności każdego z ciał. W naszym przypadku mamy dwie kulki, zatem:

$I_{O_1}=I_1+I_2$

Wykonajmy rysunek pomocniczy z oznaczeniem poszczególnych kulek:

Przyjmujemy kulki jako punkty materialne. Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać:

$I=m{r}^2$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności punktu materialnego,

$m$ - masa ciała,

$r$ - odległość ciała od osi obrotu.

▶ Moment bezwładności kulki o masie $m_1$

Odległość kulki tej od osi $O_1$ wynosi:

$r_1=a$

Wówczas moment bezwładności opisuje wzór:

$I_1=m_1{a}^2$

▶ Moment bezwładności kulki o masie $m_2$

Odległość kulki tej od osi $O_1$ wynosi:

$r_2=a$

Wówczas moment bezwładności opisuje wzór:

$I_2=m_2{a}^2$

Wracamy do wzoru na całkowity moment bezwładności układu:

$I=I_1+I_2$

$I=m_1{a}^2+m_2{a}^2$

Mamy przyjąć, że kulki mają tę samą masę:

$m_1=m_2=m$

Wówczas:

$I=m{a}^2+m{a}^2$

$I=2m{a}^2$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$I=2\cdot 10^{-3}\text{kg}\cdot {\left(2\cdot 10^{-2}\text{m}\right)}^2=$

$=2\cdot 10^{-3}\cdot 4\cdot 10^{-4}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2=$

$=8\cdot 10^{-7}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$

Odpowiedź: Moment bezwładności układu kulek wynosi 8 ⋅ 10^-7 kg ⋅ m².

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$I_{O_2}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie momentu bezwładności układu kulek, które są umieszczone w trójkącie równobocznym o promieniu $a$. Do wyznaczenia momentu bezwładności względem osi $O_2$ skorzystamy z addytywności momentu bezwładności, czyli całkowity moment bezwładności układu ciał jest równy sumie momentów bezwładności każdego z ciał. W naszym przypadku mamy trzy kulki, zatem:

$I_{O_2}=I_1+I_2+I_3$

Wykonajmy rysunek pomocniczy z oznaczeniem poszczególnych kulek:

Przyjmujemy kulki jako punkty materialne. Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać:

$I=m{r}^2$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności punktu materialnego,

$m$ - masa ciała,

$r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Zauważmy, że odległość kulki o masie $m_3$ od osi $O_2$ jest równa zero, zatem moment bezwładności tej kulki wynosi:

$I_3=0$

Natomiast odległości kulek o masach $m_1$ i $m_2$ nie są zerowe:

Zwróćmy uwagę, że odległości te są równe wysokości $h$ trójkąta równobocznego:

Zapisujemy więc:

$r_1=r_2=h$

Przejdźmy do wyznaczenia wzorów na momenty bezwładności kulek.

▶ Moment bezwładności kulki o masie $m_1$

$I_1=m_1{r}_1^2$

$I_1=m_1{h}^2$

▶ Moment bezwładności kulki o masie $m_2$

$I_2=m_2{r}_2^2$

$I_2=m_2{h}^2$

Wracamy do wzoru na całkowity moment bezwładności układu:

$I=I_1+I_2+I_3$

$I=m_1{h}^2+m_2{h}^2+0$

Mamy przyjąć, że kulki mają tę samą masę:

$m_1=m_2=m_3=m$

Wówczas:

$I=m{h}^2+m{h}^2$

$I=2m{h}^2$

Wysokość trójkąta równobocznego opisuje wzór:

$h=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

gdzie:

$a$ - długość boku trójkąta równobocznego.

Zatem:

$I=2m{\left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)}^2$

$I={\cancel{2}}^{1}m\frac{3a^2}{{\cancel{2}}^2}$

$I=\frac{3}{2}m{a}^2$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$I=\frac{3}{2}\cdot 10^{-3}\text{kg}\cdot {\left(2\cdot 10^{-2}\text{m}\right)}^2=$

$=\frac{3}{2}\cdot 10^{-3}\cdot 4\cdot 10^{-4}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2=$

$=\frac{3}{{\cancel{2}}^1}\cdot {\cancel{4}}^2\cdot 10^{-7}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2=6\cdot 10^{-7}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$

Odpowiedź: Moment bezwładności układu kulek wynosi 6 ⋅ 10^-7 kg ⋅ m².

 

$\mathbf{c})$

Szukane:

$I_{O_3}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie momentu bezwładności układu kulek, które są umieszczone w trójkącie równobocznym o promieniu $a$. Do wyznaczenia momentu bezwładności względem osi $O_3$ skorzystamy z addytywności momentu bezwładności, czyli całkowity moment bezwładności układu ciał jest równy sumie momentów bezwładności każdego z ciał. W naszym przypadku mamy trzy kulki, zatem:

$I_{O_3}=I_1+I_2+I_3$

Wykonajmy rysunek pomocniczy z oznaczeniem poszczególnych kulek:

Przyjmujemy kulki jako punkty materialne. Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać:

$I=m{r}^2$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności punktu materialnego,

$m$ - masa ciała,

$r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Oznaczamy odległości kulek od osi obrotu:

Zauważmy, że kulki znajdują się w tej samej odległości od osi obrotu, ponieważ oś obrotu znajduję się w punkcie przecięcia się wysokości trójkąta równobocznego, lub inaczej mówiąc, w punkcie przecięcia się środkowych.

Zapisujemy więc:

$r_1=r_2=r_3=d$

Odległość ta jest równa:

$d=\frac{2}{3}h$

gdzie:

$h$ - wysokość trójkąta równobocznego.

Wysokość trójkąta równobocznego opisuje wzór:

$h=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

gdzie:

$a$ - długość boku trójkąta równobocznego.

Zatem:

$d=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}a$

$d=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

Przejdźmy do wyznaczenia wzorów na momenty bezwładności kulek.

▶ Moment bezwładności kulki o masie $m_1$

$I_1=m_1{r}_1^2$

$I_1=m_1{d}^2$

▶ Moment bezwładności kulki o masie $m_2$

$I_2=m_2{r}_2^2$

$I_2=m_2{d}^2$

▶ Moment bezwładności kulki o masie $m_3$

$I_3=m_3{r}_3^2$

$I_3=m_3{d}^2$

Wracamy do wzoru na całkowity moment bezwładności układu:

$I=I_1+I_2+I_3$

$I=m_1{d}^2+m_2{d}^2+m_3{d}^2$

Mamy przyjąć, że kulki mają tę samą masę:

$m_1=m_2=m_3=m$

Wówczas:

$I=m{d}^2+m{d}^2+m{d}^2$

$I=3m{d}^2$

$I=3m{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)}^2$

$I=3m\frac{3}{9}{a}^2$

$I=\frac{9}{9}m{a}^2$

$I=m{a}^2$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$I=10^{-3}\text{kg}\cdot {\left(2\cdot 10^{-2}\text{m}\right)}^2=$

$=10^{-3}\text{kg}\cdot 4\cdot 10^{-4}{\text{m}}^2=4\cdot 10^{-7}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$

Odpowiedź: Moment bezwładności układu kulek wynosi 4 ⋅ 10^-7 kg ⋅ m².