TREŚĆ:

Zadanie 10.

Cztery oporniki $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ o jednakowym oporze elektrycznym $R$ połączono w obwód, który następnie podłączono do źródła stałego napięcia elektrycznego U. Na rysunku 1. przedstawiono schemat obwodu w sytuacji, gdy klucz K jest zamknięty, a na rysunku 2. – gdy klucz K jest otwarty. Przyjmij, że napięcie U zasilające obwód jest takie samo w obu sytuacjach.

Zadanie 10.1. 

Rozważamy sytuację, gdy klucz K w obwodzie jest zamknięty (zobacz rysunek 1.). Natężenia prądów płynących przez oporniki $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ oznaczymy odpowiednio: $I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$.

Zaznacz poprawne dokończenie zdania wybrane spośród A–D.

Prawidłowe relacje między natężeniami prądów płynących przez poszczególne oporniki to:

A. $I_1>I_2$ oraz $I_3>I_4$
B. $I_4>I_1$ oraz $I_1>I_2$
C. $I_4>I_2$ oraz $I_3>I_1$
D. $I_1>I_4$ oraz $I_4>I_3$

---

ROZWIĄZANIE:

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest poprawne wybranie relacji między natężaniami prądów płynących przez poszczególne oporniki. Wiemy, że napięcie zasilające obwód wynosi $U$, a wszystkie oporniki mają jednakowy opór elektryczny, czyli:

$R_1=R_2=R_3=R_4=R$  

Niech całkowite natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi $I$. Zaznaczmy na rysunku 1. odpowiednio natężenia prądów płynących przez te oporniki. Oznaczmy również węzły w obwodzie.

gdzie:

$A$, $B$, $C$, $D$ - kolejne węzły w obwodzie,

$R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ - oporniki w układzie,

$I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$ - natężenia prądów płynących przez kolejne oporniki. 

Wiemy, że napięcie prądu w całym obwodzie wynosi $U$, czyli takie samo napięcie będzie pomiędzy węzłami $A$ i $D$:

$U_{AD}=U$  

gdzie:

$U_{AD}$ - napięcie między węzłami $A$ i $D$.

PRAWO OHMA Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas natężenie prądu płynącego w przewodniku (lub urządzeniu) możemy przedstawić wzorem: $I=\frac{U}{R}$  gdzie: $I$ - natężenie prądy płynącego w obwodzie,  $U$ - napięcie, do jakiego podłączono urządzenie lub przewód,  $R$ - opór elektryczny urządzenia/przewodu.

Zatem natężenie prądu płynące przez opornik $R_4$ możemy zgodnie z prawem Ohma przedstawić wzorem:

$I_4=\frac{U_{AD}}{R_4}$

Podstawiając zależności:

$I_4=\frac{U}{R}$ 

NAPIĘCIE Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas napięcie na końcach przewodu (lub urządzenia) możemy przedstawić wzorem: $U=RI$ gdzie: $U$ - napięcie, do jakiego podłączono urządzenie/przewód. $R$ - opór elektryczny urządzenia/przewodu, $I$ - natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Pomiędzy węzłami mamy układ oporników połączonych równolegle. Napięcie pomiędzy węzłami jest takie samo, czyli zgodnie z prawem Ohma możemy zapisać:

$U_{BD}=R_3{I}_3=R_2{I}_2$  

Ponieważ:

$R_2=R_3=R$  

To z tego wynika, że:

$R_3{I}_3=R_2{I}_2$  

$R{I}_3=R{I}_2|:R$  

$I_3=I_2$  

I PRAWO KIRCHHOFFA Suma natężeń prądów wpływających do węzła obwodu elektrycznego, jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła. $\sum _{i=1}^n{I}_i=\sum _{k=1}^m{I}_k$ gdzie: $I_i$ - natężenie i-tego prądu wpływającego do węzła, $I_k$ - natężenie k-tego prądu wypływającego z węzła.

Korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa dla węzła $B$ otrzymujemy:

$I_1=I_2+I_3$  

Podstawiając zależność $I_3=I_2$:

$I_1=I_2+I_2$  

$I_1=2I_2$  

Zatem:

$I_1>I_2$  

Czyli również:

$I_1=2I_3$  

$I_1>I_3$  

POŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE OPORNIKÓW Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy, korzystając ze wzoru: $\frac{1}{R_z}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}$ gdzie: $R_z$ - opór zastępczy układu, $R_i$ - opór składowego (i-tego) opornika w układzie, $i$ - indeks (wskaźnik) numerujący kolejne oporniki w układzie, $n$ - liczba oporników w układzie.

Opór zastępczy oporników 2 i 3 będzie miał postać:

$\frac{1}{R_{2,3}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$  

gdzie:

$R_{2,3}$ - opór zastępczy dla oporników 2 i 3.

Zatem:

$\frac{1}{R_{2,3}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_{2,3}}=\frac{2}{R}$  

$R_{2,3}=\frac{1}{2}R$  

POŁĄCZENIE SZEREGOWE OPORNIKÓW Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy, korzystając ze wzoru: $R_z=\sum _{i=1}^n{R}_i$ gdzie: $R_z$ - opór zastępczy układu, $R_i$ - opór składowego (i-tego) opornika w układzie, $i$ - indeks (wskaźnik) numerujący kolejne oporniki w układzie, $n$ - liczba oporników w układzie.

Zatem opór zastępczy oporników 1, 2 i 3 wynosi: 

$R_{1,2,3}=R_1+R_{2,3}$  

gdzie:

$R_{1,2,3}$ - opór zastępczy dla oporników 1, 2 i 3.

Wówczas:

$R_{1,2,3}=R+\frac{1}{2}R$  

$R_{1,2,3}=\frac{3}{2}R$  

Oznacza to, że cały układ ma opór zastępczy:

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{R_{1,2,3}}+\frac{1}{R_4}$  

gdzie:

$R_z$ - opór zastępczy układu.

Wówczas możemy zapisać:

$\frac{1}{R_z}=\frac{1}{\frac{3}{2}R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{2}{3R}+\frac{3}{3R}$  

$\frac{1}{R_z}=\frac{5}{3R}$  

$R_z=\frac{3}{5}R$  

A zatem:

$I=\frac{U}{R_z}$  

$I=\frac{U}{\frac{3}{5}R}$  

$I=\frac{5}{3}\frac{U}{R}$  

Korzystając z prawa Kirchhoffa dla węzła $A$ możemy zapisać, że:

$I_1+I_4=I$  

$I_1+\frac{U}{R}=\frac{5}{3}\frac{U}{R}\mid -\frac{U}{R}$  

$I_1=\frac{5}{3}\frac{U}{R}-\frac{U}{R}$  

$I_1=\frac{2}{3}\frac{U}{R}$  

Wyznaczyliśmy, że:

$I_4=\frac{U}{R}$

Zatem:

$I_1<I_4$  

 Odpowiedź: 

B. $I_4>I_1$  oraz  $I_1>I_2$.