Treść: 

Drewniany sześcian o gęstości 900 ^kg/_m³ i boku a = 5 cm umieszczono w naczyniu z wodą o gęstości 1000 ^kg/_m³. 

Oblicz stosunek objętości części wynurzonej (V_wyn) do objętości części zanurzonej (V_zan) sześcianu pływającego w wodzie.

---

 Rozwiązanie: 

Dane:

${\rho }_d=900\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$a=5\text{cm}$  

${\rho }_w=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Szukane:

$\frac{V_{\text{wyn}}}{V_{\text{zan}}}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Siła wyporu działa ciało zanurzone w płynie. Jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało.

$F_w=\rho gV$  

gdzie:

$\rho$  - gęstość cieczy,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$V$  - objętość wypartej cieczy, która jest równa objętości części ciała zanurzonego w cieczy.

Zależność ta stanowi treść prawa Archimedesa. Wartość siły wyporu działająca na zanurzoną w wodzie sześcian będzie miała postać:

$F_w={\rho }_{w}g{V}_{\text{zan}}$  

Wartość siły ciężkości działająca na sześcian będzie miała postać:

$F_g=mg$  

gdzie:

$m$  - masa sześcianu,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Z definicji gęstości, wiemy, że:

$\rho =\frac{m}{V}$  

gdzie:

$m$  - masa ciała,

$V$  - objętość ciała.

Korzystając z wzoru na gęstość zapiszmy masę sześcianu:

${\rho }_d=\frac{m}{V}\text{|}\cdot V_{\text{całkowite}}$  

$m={\rho }_d{V}_{\text{całkowite}}$  

Zauważamy, że aby klocek pozostawał w równowadze, siła wyporu musi być równa sile ciężkości. Zatem zapisujemy równowagę wartości sił:

$F_w=F_g$  

${\rho }_{w}g{V}_{\text{zan}}=mg$  

${\rho }_{w}g{V}_{\text{zan}}={\rho }_d{V}_{\text{całkowite}}g\text{| : }g$  

${\rho }_w{V}_{\text{zan}}={\rho }_d{V}_{\text{całkowite}}$  

Całkowitą objętość możemy zapisać jako sumę:

$V_{\text{całkowite}}=V_{\text{zan}}+V_{\text{wyn}}$  

gdzie:

$V_{\text{zan}}$  - objętość zanurzona w cieczy,

$V_{\text{wyn}}$  - objętość wynurzona.

Zatem:

${\rho }_w{V}_{\text{zan}}={\rho }_d{V}_{\text{całkowite}}$  

${\rho }_w{V}_{\text{zan}}={\rho }_d\left(V_{\text{zan}}+V_{\text{wyn}}\right)\text{| : }{\rho }_d$  

$\frac{{\rho }_w}{{\rho }_d}{V}_{\text{zan}}=V_{\text{zan}}+V_{\text{wyn}}\text{|}-V_{\text{zan}}$  

$V_{\text{wyn}}=\frac{{\rho }_w}{{\rho }_d}{V}_{\text{zan}}-V_{\text{zan}}\text{| : }{V}_{\text{zan}}$  

$\frac{V_{\text{wyn}}}{V_{\text{zan}}}=\frac{{\rho }_w}{{\rho }_d}-1$  

$\frac{V_{\text{wyn}}}{V_{\text{zan}}}=\frac{{\rho }_w}{{\rho }_d}-\frac{{\rho }_d}{{\rho }_d}$  

$\frac{V_{\text{wyn}}}{V_{\text{zan}}}=\frac{{\rho }_w-{\rho }_d}{{\rho }_d}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$\frac{V_{\text{wyn}}}{V_{\text{zan}}}=\frac{1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}-900\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}{900\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}=\frac{100\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}{900\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}=\frac{1}{9}$  

 

Odpowiedź: Stosunek objętości części wynurzonej do objętości części zanurzonej sześcianu pływającego w wodzie wynosi ¹/₉.