Treść:

Na ciała spadające w powietrzu działa siła oporu zależna od prędkości. Wartość tej siły najczęściej obliczamy ze wzoru

${\text{F}}_{\text{op}}=\frac{\text{C}}{2}\rho {\text{v}}^2\text{S}$  

, gdzie $\rho$  jest gęstością ośrodka (powietrza), v to prędkość ciała, a S – pole przekroju prostopadłego do kierunku ruchu. Współczynnik C zależy od kształtu ciała – dla kuli przyjmujemy, że wynosi on 0,5. Podczas spadania ciał wraz ze wzrostem prędkości rośnie siła oporu, aż do zrównoważenia ciężaru ciała, kiedy dalszy ruch odbywa się ze stałą prędkością. 

Piłeczka pingpongowa ma masę 2,5 g, a jej promień wynosi 1,7 cm. Gęstość powietrza jest równa 1,3 kg/m3. Oblicz prędkość, przy której taka piłeczka będzie  spadać ruchem jednostajnym.

---

Dane:

$C=0,5$

$m=2,5\text{g}=0,0025\text{kg}$  

$r=1,7\text{cm}=0,017\text{m}$

$\rho =1,3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ . 

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Na spadającą piłeczkę w powietrzu będzie działała siła grawitacji ${\overrightarrow{F}}_g$   i siła oporu powietrza ${\overrightarrow{F}}_{op}$  . 

Piłeczka ma spadać ruchem jednostajnym, zatem działające na nią siły muszą się równoważyć.

$F_g=F_{op}$

gdzie:

$F_g$   - wartość siły grawitacji, 

$F_{op}$   - wartość siły oporu powietrza.

 

Siłę grawitacji wyrazimy jako:

$F_g=mg$

gdzie:

$m$   - masa piłeczki,

$g$   - przyspieszenie ziemskie.

 

Siłę oporu powietrza wyrazimy jako:

$F_{op}=\frac{C}{2}\rho v^{2}S$

gdzie:

$C$   - współczynnik zależny od kształtu ciała, 

$\rho$   - gęstość ośrodka,

$v$   - wartość prędkości ciała,

$S$   - pole przekroju prostopadłego ciała.

 

Piłeczka jest kulą, więc jej pole przekroju będzie polem koła.

$S=\pi r^2$

gdzie:

$r$   - promień kuli. 

Stąd:

$F_{op}=\frac{C}{2}\rho v^2\cdot \pi r^2=\frac{\pi }{2}C\rho r^2\cdot v^2$  

 

Zatem:

$F_g=F_{op}$

$mg=\frac{\pi }{2}C\rho r^2\cdot v^2$  

Wyznaczmy zależność na wartość prędkości piłeczki:

$v^2=\frac{mg}{\frac{\pi }{2}C\rho r^2}$  

$v^2=\frac{2mg}{\pi C\rho r^2}$  

$v=\sqrt{\frac{2mg}{\pi C\rho r^2}}$  

Obliczmy wartość prędkości spadającej piłeczki:

$v=\sqrt{\frac{2\cdot 0,0025\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{3,14\cdot 0,5\cdot 1,3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot {\left(0,017\text{m}\right)}^2}}=\sqrt{\frac{0,04905\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,000589849\frac{\text{kg}}{\text{m}}}}\approx 9,12\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Przy prędkości o wartości około 9,12 ^m/_s piłeczka będzie spadać ruchem jednostajnym.