Treść:

Reguła Titiusa-Bodego, odkryta w 1766 roku, opisuje średnią odległość a planety od Słońca w jednostkach astronomicznych (AU). Wyraża się ona wzorem: a = 0,4 + 0,3 ∙ k, gdzie: k = 0, 1, 2, 4, 8, . . ., (ciąg kolejnych potęg dwójki wraz z zerem).

Prawidłowość ta dość dokładnie pozwalała obliczać odległości do wszystkich planet do Saturna włącznie, ale pozostawiała puste miejsce na planetę pomiędzy Marsem a Jowiszem. Odkrycie Urana o orbicie położonej dalej i rozszerzającej zasięg działania reguły Titiusa-Bodego dodatkowo wzmocniło przekonanie, że pomiędzy Marsem a Jowiszem musi znajdować się dodatkowa planeta. W 1801 roku zaobserwowano pierwszą planetoidę, znajdującą się w miejscu przewidywanym przez regułę Titiusa Bodego, znaną obecnie pod nazwą Ceres.

Astronomowie nie potrafią wyjaśnić, dlaczego niektóre satelity Słońca spełniają tę zależność, ani wskazać, czy podobne reguły mają zastosowanie również do innych układów planetarnych. Badania pozasłonecznych systemów planetarnych sugerują możliwość, że pewien rodzaj reguły Titiusa-Bodego może również opisywać relacje odległości dla innych układów planetarnych. Materiał obserwacyjny jest jednak na razie zbyt ubogi, aby można było z niego wyciągnąć bardziej kategoryczne wnioski.

Ceres krąży wokół Słońca w środku pasa planetoid, w średniej odległości 2,77 AU od Słońca. Najmniejsza odległość Ceres od Słońca (peryhelium) wynosi 2,55 AU, największa (aphelium) to 2,98 AU. Średnia odległość ciała od Słońca oznacza długość półosi wielkiej orbity eliptycznej, po której to ciało okrąża Słońce.

Wartość prędkości liniowej planetoidy Ceres (w inercjalnym układzie odniesienia, w którym środek Słońca spoczywa) podczas jej przejścia z peryhelium do aphelium się zmienia.

Napisz, czy podczas przejścia planetoidy z peryhelium do aphelium jej prędkość zmaleje, czy – wzrośnie. Wyjaśnij to, powołując się na pojęcie momentu pędu
związanego z ruchem planetoidy po orbicie. Następnie oblicz, o ile procent zmieni się prędkość planetoidy podczas przejścia z peryhelium do aphelium.

---

Dane:

${\text{r}}_{\text{p}}=2,55\text{AU}$  

${\text{r}}_{\text{a}}=2,98\text{AU}$  

Rozwiązanie:

Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu  punktu materialnego w ruchu względem punktu centrum, gdy działa na ten punkt materialny siła skierowana zawsze do tego centrum, możemy zapisać, że:

$\text{r}\cdot \text{mv}\cdot \sin \alpha =const.$  

Kąt $\alpha$  jest kątem pomiędzy wektorem prędkości a ramieniem wodzącym punkt względem centrum.

W rozważaniach traktujemy planetoidę Ceres jak punkt materialny poruszający się pod wpływem siły grawitacji skierowanej do środka Słońca.

Przyrównujemy więc momenty pędu Ceres względem Słońca w punktach peryhelium (p) i aphelium (a) orbity:

${\text{v}}_{\text{p}}\cdot {\text{r}}_{\text{p}}={\text{v}}_{\text{a}}\cdot {\text{r}}_{\text{a}}\to \frac{{\text{v}}_{\text{a}}}{{\text{v}}_{\text{p}}}=\frac{{\text{r}}_{\text{p}}}{{\text{r}}_{\text{a}}}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$\frac{{\text{v}}_{\text{a}}}{{\text{v}}_{\text{p}}}=\frac{2,55\cancel{\text{AU}}}{2,98\cancel{\text{AU}}}$  

$\frac{{\text{v}}_{\text{a}}}{{\text{v}}_{\text{p}}}\approx 0,86$  

Z tego wnioskujemy, że prędkość planetoidy w aphelium jest o ok. 14% mniejsza niż w peryhelium.