Treść:

Na wykresach poniżej przedstawiono cykle termodynamiczne dwóch silników cieplnych. Osie na obu wykresach są wyskalowane tak samo. Substancją roboczą w każdym silniku jest 1 mol gazu doskonałego o tym samym cieple molowym. Silnik I w jednym cyklu pracy oddaje łącznie 19 kJ ciepła, a pobiera łącznie 23 kJ ciepła (3 kJ w przemianie izochorycznej i 20 kJ w przemianie izobarycznej).

W poniższych zdaniach podkreśl właściwe określenia, tak aby relacje pomiędzy wielkościami dotyczącymi obu silników były prawdziwe.

1. Praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż) praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik II.

2. Maksymalna temperatura gazu w silniku I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż) maksymalna temperatura gazu w silniku II.

---

Rozwiązanie

Najpierw zaznaczmy punkty na wykresach:

1. Najpierw obliczamy całkowitą pracę wykonaną w jednym cyklu przez silnik I (pamiętamy, że w przemianie izochorycznej nie wykonywana jest praca):

${\text{W}}_{\text{I}}={\text{W}}_{\text{AB}}+{\text{W}}_{\text{BC}}+{\text{W}}_{\text{CD}}+{\text{W}}_{\text{DA}}$  

${\text{W}}_{\text{I}}=0+2{\text{p}}_1\cdot {\text{2V}}_1+0-{\text{p}}_{1}2{\text{V}}_1$  

${\text{W}}_{\text{I}}=2{\text{p}}_1{\text{V}}_1$  

oraz obliczamy całkowitą pracę wykonaną w jednym cyklu przez silnik II:

${\text{W}}_{\text{II}}={\text{W}}_{\text{EF}}+{\text{W}}_{\text{FG}}+{\text{W}}_{\text{GH}}+{\text{W}}_{\text{HE}}$  

${\text{W}}_{\text{II}}=0+3{\text{p}}_1\cdot {\text{V}}_1+0-{\text{p}}_1{\text{V}}_1$  

${\text{W}}_{\text{II}}=2{\text{p}}_1{\text{V}}_1$  

Widzimy, że praca wykonana przez oba silniki w jednym cyklu jest taka sama. 

2. Dla silnika I najwyższa temperatura występuje w punkcie C:

$\frac{{\text{V}}_{\text{C}}}{{\text{T}}_{\text{C}}}=\frac{{\text{V}}_{\text{B}}}{{\text{T}}_{\text{B}}}\to {\text{T}}_{\text{C}}={\text{T}}_{\text{B}}\frac{{\text{V}}_{\text{C}}}{{\text{V}}_{\text{B}}}$  

${\text{T}}_{\text{C}}={\text{T}}_{\text{B}}\cdot \frac{3\cancel{{\text{V}}_1}}{\cancel{{\text{V}}_1}}$  

${\text{T}}_{\text{C}}=3{\text{T}}_{\text{B}}$  

a w stosunku do początkowej temperatury:

$\frac{{\text{p}}_{\text{A}}}{{\text{T}}_{\text{A}}}=\frac{{\text{p}}_{\text{B}}}{{\text{T}}_{\text{B}}}\to {\text{T}}_{\text{B}}={\text{T}}_{\text{A}}\frac{{\text{p}}_{\text{B}}}{{\text{p}}_{\text{A}}}$  

${\text{T}}_{\text{B}}={\text{T}}_{\text{A}}\cdot \frac{2\cancel{{\text{p}}_1}}{\cancel{{\text{p}}_1}}$  

${\text{T}}_{\text{B}}=2{\text{T}}_{\text{A}}$  

Temperatura w punkcie C wynosi zatem:

${\text{T}}_{\text{C}}=3\cdot 2\cdot {\text{T}}_{\text{A}}$  

${\text{T}}_{\text{C}}=6{\text{T}}_{\text{A}}$   

Dla silnika II najwyższa temperatura występuje w punkcie G:

$\frac{{\text{V}}_{\text{G}}}{{\text{T}}_{\text{G}}}=\frac{{\text{V}}_{\text{F}}}{{\text{T}}_{\text{F}}}\to {\text{T}}_{\text{G}}={\text{T}}_{\text{F}}\frac{{\text{V}}_{\text{G}}}{{\text{V}}_{\text{F}}}$  

${\text{T}}_{\text{G}}={\text{T}}_{\text{F}}\cdot \frac{2\cancel{{\text{V}}_1}}{\cancel{{\text{V}}_1}}$  

${\text{T}}_{\text{G}}=2{\text{T}}_{\text{F}}$  

a w stosunku do początkowej temperatury:

$\frac{{\text{p}}_{\text{E}}}{{\text{T}}_{\text{E}}}=\frac{{\text{p}}_{\text{F}}}{{\text{T}}_{\text{F}}}\to {\text{T}}_{\text{F}}={\text{T}}_{\text{E}}\frac{{\text{p}}_{\text{F}}}{{\text{p}}_{\text{E}}}$  

${\text{T}}_{\text{E}}={\text{T}}_{\text{F}}\cdot \frac{3\cancel{{\text{p}}_1}}{\cancel{{\text{p}}_1}}$  

${\text{T}}_{\text{E}}=2{\text{T}}_{\text{F}}$  

Temperatura w punkcie C wynosi zatem:

${\text{T}}_{\text{G}}=2\cdot 3\cdot {\text{T}}_{\text{E}}$  

${\text{T}}_{\text{G}}=6{\text{T}}_{\text{E}}$   

Widzimy, że maksymalne temperatury dla obu silników są jednakowe.

---

Odpowiedź:

1. Praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż) praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik II.

2. Maksymalna temperatura gazu w silniku I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż) maksymalna temperatura gazu w silniku II.