Treść:

Proton, którego długość fali de Broglie'a wynosi 10^-11 m, wpada w obszar jednorodnego pola magnetycznego i porusza się w nim po okręgu o promieniu 2 · 10^-2 m. Oblicz wartość indukcji magnetycznej tego pola. Pomiń efekty relatywistyczne.

---

Dane:

$\lambda ={10}^{-11}\text{m}$  

$\text{r}=2\cdot {10}^{-2}\text{m}$  

Szukane:

$\text{B}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Na początek zauważamy, że siła dośrodkowa jest równa sile Lorentza:

${\text{F}}_{\text{d}}={\text{F}}_{\text{L}}$  

Zapisujemy to wzorami:

$\frac{{\text{mv}}^2}{\text{r}}=\text{qvB}$  

gdzie  $\text{q}=\text{e}=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$  to wartość ładunku protonu. 

Przekształcamy wzór, aby otrzymać wyrażenie na wartość indukcji pola magnetycznego:

$\frac{\text{m}\cdot {\text{v}}^{\sout{2}}}{\text{r}}=\text{e}\cdot \sout{\text{v}}\cdot \text{B}\text{/: v}$  

$\frac{\text{m}\cdot \text{v}}{\text{r}}=\text{e}\cdot \text{B}\text{/: e}$  

$\text{B}=\frac{\text{m}\cdot \text{v}}{\text{r}\cdot \text{e}}$  

Teraz zapiszmy wzór na prędkość ze wzoru na pęd:

$\text{p}=\text{m}\cdot \text{v}\text{/: m}$  

$\text{v}=\frac{\text{p}}{\text{m}}$  

Z kolei wyrażenie na pęd ma postać:

$\lambda =\frac{h}{\text{p}}\text{/}\cdot \text{p}$  

$\lambda \cdot \text{p}=h\text{/: }\lambda$  

$\text{p}=\frac{h}{\lambda }$  

Wstawiamy to wyrażenie do wzoru na prędkość i otrzymujemy:

$\text{v}=\frac{h}{\lambda \cdot \text{m}}$  

Następnie to wyrażenie wstawiamy do wzoru na indukcję pola magnetycznego:

$\text{B}=\frac{\sout{\text{m}}\cdot h}{\lambda \cdot \sout{\text{m}}\cdot \text{r}\cdot \text{e}}$  

$\text{B}=\frac{h}{\lambda \cdot \text{r}\cdot \text{e}}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$\text{B}=\frac{6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}{{10}^{-11}\text{m}\cdot 2\cdot {10}^{-2}\text{m}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}}$  

$\text{B}\approx 0,02\text{T}$  

---

Odpowiedź: Indukcja magnetyczna tego pola wynosi w przybliżeniu 0,02 T.