TREŚĆ:

Zadanie 14.

Dane dotyczące księżyców dwóch planet Układu Słonecznego zamieszczono w tabeli. Zakładamy, że orbity tych księżyców są okręgami.

Zadanie 14.1

Korzystając z odpowiednich wzorów i praw fizycznych, udowodnij, że wzór pozwalający obliczyć masę M planety w zależności od odległości R księżyca od planety oraz od czasu obiegu T księżyca wokół planety ma postać

$M=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}$  

---

ROZWIĄZANIE:

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na masę planety, wokół której krąży zadany księżyc.

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem: $F_{\text{g}}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$ gdzie: $F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji, $G$  - stała grawitacji, $m_1$ i $m_2$  - masy oddziałujących ze sobą ciał, $r$  - odległość pomiędzy środkami tych mas.

W naszym przypadku masy będą równe masie księżyca i masie planety.

$m_1=m,m_2=M$

gdzie:

$m$   - masa księżyca,

$M$   - masa planety.

Wartość siły grawitacji działająca na księżyc poruszający się po orbicie o zadanym promieniu wynosi: 

$F_{\text{g}}=\frac{GmM}{R^2}$  

Księżyc porusza się po orbicie kołowej, zatem działa na niego siła dośrodkowa zakrzywiająca jego tor ruchu.

WARTOŚĆ SIŁY DOŚRODKOWEJ Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem: $F_d=\frac{m{v}^2}{r}$ gdzie: $F_d$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało,  $m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu,  $v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

W przypadku ruchu po orbicie siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej.

$F_{\text{g}}=F_{\text{d}}$

$\frac{GmM}{R^2}=\frac{m{v}^2}{R}\mid :m$   

$\frac{GM}{R^2}=\frac{v^2}{R}\mid \cdot r$   

$\frac{GM}{R}=v^2$   

Wartość prędkości liniowej w ruchu po okręgu wyrażamy jako:

$v=\frac{2\pi R}{T}$

gdzie:

$T$   - okres ruchu po okręgu.

Zatem:

$\frac{GM}{R}={\left(\frac{2\pi R}{T}\right)}^2$   

$\frac{GM}{R}=\frac{4{\pi }^2{R}^2}{T^2}|\cdot R$   

$GM=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{T^2}|:G$   

Masę planety możemy wyrazić jako:

$M=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}$