Treść:

Wahadło, które jest dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego, zbudowano z ciężarka o masie 0,1 kg zawieszonego na długiej, cienkiej i nierozciągliwej nici. Na wykresie przedstawiono zależność energii kinetycznej wahadła od czasu.

Ustal i zapisz, w których chwilach t w przedziale czasu widocznym na wykresie wychylenie wahadła jest równe połowie amplitudy drgań. Skorzystaj z podanego w zadaniu wykresu zależności energii kinetycznej wahadła od czasu. 

---

Rozwiązanie:

Szukamy takich chwil czasowych, kiedy wychylenie wahadła jest równe połowie amplitudy drgań.

Energię potencjalną w ruchu drgającym wyrażamy jako:

$E_p=\frac{k{x}^2}{2}$  

gdzie:

$E_p$   - energia potencjalna,

$k$   - współczynnik proporcjonalności,

$x$   - wychylenie z położenia równowagi.

 

Energię całkowitą w ruchu drgającym wyrażamy jako:

$E_c=\frac{k{A}^2}{2}$  

gdzie:

$E_c$   - energia całkowita,

$A$   - amplituda drgań.

 

Interesuje nas położenie wahadła zadane jako:

$x_1=\frac{A}{2}$

Stąd energia potencjalna wahadła w tym położeniu jest równa:

$E_{p1}=\frac{k{x}_1^2}{2}$   

$E_{p1}=\frac{k{\left(\frac{A}{2}\right)}^2}{2}$   

$E_{p1}=\frac{k\frac{A^2}{4}}{2}$   

$E_{p1}=\frac{1}{4}\cdot \frac{k{A}^2}{2}$   

 

Zatem stosunek tej energii potencjalnej do energii całkowitej wyniesie:

$\frac{E_{p1}}{E_c}=\frac{\frac{1}{4}\cdot \frac{k{A}^2}{2}}{\frac{k{A}^2}{2}}=\frac{1}{4}$  

$E_{p1}=\frac{1}{4}{E}_c$  

Energia potencjalna wahadła w położeniu równym połowie amplitudy jest cztery razy mniejsza od całkowitej energii wahadła.

Możemy zapisać, że suma energii potencjalnej i kinetycznej w zadanym położeniu wahadła jest równa:

$E_{p1}+E_{k1}=E_c$

Stąd:

$\frac{1}{4}{E}_c+E_{k1}=E_c$

$E_{k1}=\frac{3}{4}{E}_c$

Zatem szukamy chwil czasowych, w których energia kinetyczna wahadła jest równa ³/₄ energii całkowitej.   

Wiemy, że:

$E_c=E_{k,\max }$  

gdzie:

$E_{k,\max }$   - maksymalna energia kinetyczna.

Stąd:

$E_{k1}=\frac{3}{4}{E}_{k,\max }$

Maksymalną energię kinetyczną odczytujemy z wykresu:

$E_{k,\max }=0,004\text{J}$  

Zatem:

$E_{k1}=\frac{3}{4}\cdot 0,004\text{J}=0,003\text{J}$

Odczytajmy z wykresu czas, dla którego energia kinetyczna wahadła przyjmuje wyznaczoną wartość. 

$t_{1,1}\approx 0,33\text{s}$

$t_{1,2}\approx 0,67\text{s}$   

Odpowiedź: W chwilach czasu równych 0,33 s i 0,67 s wychylenie wahadła jest równe połowie amplitudy drgań.