Dane:

$m=150\text{g}=0,15\text{kg}$

$T=1,6F_c$

$s=2\text{cm}$

Szukane:

$h=?$

Rozwiązanie:

Kulka wpada do rury z pewną prędkością początkową $v_1$   jaką uzyskała podczas spadku swobodnego. Wyznaczmy zależność tej prędkości od wysokości z jakiej spadła kulka.

Prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym wyrażamy jako:

$v_1=g{t}_1$

Wyznaczmy czas $t_1$   spadku swobodnego tej kulki:

$t_1=\frac{v_1}{g}$

Wysokość z jakiej spadła ta kulka wyrazimy jako:

$h=\frac{1}{2}g{t}_1^2$

Podstawmy do powyższego wzoru wyznaczoną zależność na czas spadku:

$h=\frac{1}{2}g{\left(\frac{v_1}{g}\right)}^2$     

$h=\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{g}$

Prędkość z jaką kulka wpadła do rurki będzie dana jako:

$\frac{v_1^2}{g}=2h$    

$v_1^2=2hg$

 

Rozpatrujemy teraz ruch jednostajnie opóźniony kulki w rurze.

Siła wypadkowa działająca na kulkę jest równa różnicy siły tarcia i siły ciężkości kulki. Wyznaczmy jakie opóźnienie posiada kulka:

$F_w=T-F_c$

$ma=T-F_c$

$ma=1,6F_c-F_c$

$ma=0,6mg$  

$a=0,6g$  

Drogę jaką przebyła kulka w rurze wyrazimy jako:

$s=v_1{t}_2-\frac{1}{2}a{t}_2^2$

Kulka hamuje, więc prędkość końcowa kulki w rurze jest zerowa:

$v=v_1-a{t}_2$

$0=v_1-a{t}_2$

$a{t}_2=v_1$

$t_2=\frac{v_1}{a}$

Podstawmy wyznaczony czas hamowania kulki do wzoru na drogę:

$s=v_1\cdot \frac{v_1}{a}-\frac{1}{2}a\cdot {\left(\frac{v_1}{a}\right)}^2$

$s=\frac{v_1^2}{a}-\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{a}$

$s=\frac{v_1^2}{2a}$  

Podstawmy wyznaczone opóźnienie z jakim poruszała się kulka:

$s=\frac{v_1^2}{2\cdot 0,6g}$  

$s=\frac{v_1^2}{1,2g}$  

Podstawmy wyznaczone wyrażenie na prędkość początkową kulki:

$s=\frac{2hg}{1,2g}$  

$s=1,667h$  

Wyznaczmy wysokość z jakiej spadła kulka:

$h=\frac{s}{1,667}$

$h=\frac{2\text{cm}}{1,667}=1,2\text{cm}$