Dane:

$r_1=\frac{10\text{cm}}{2}=5\text{cm}=0,05\text{m}$  

$r_2=\frac{20\text{cm}}{2}=10\text{cm}=0,1\text{m}$  

$h=10\text{cm}=0,1$

$\rho =800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

$m=3\text{kg}$   

$g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Szukane:

$F_1=?$

Rozwiązanie:

Rysunek pomocniczy do zadania:

 

Na duży tłok i ciężarek będzie działała siła parcia $F_2$   równa:

$F_2=p\cdot S_2$  

$p-\text{cisˊnienie jakie wywiera ciecz na duz˙y tłok}$

$S_2-\text{powierzchnia duz˙ego tłoka}$   

Ciśnienie jakie wywiera ciecz na duży tłok będzie równe sumie ciśnienia hydrostatycznego słupa cieczy (o wysokości $h$  ) znajdującego się ponad poziomem dużego tłoka i ciśnienia pochodzącego od siły parcia $F_1$   wywieranej przez mały tłok na ciecz.

$p=p_h+p_1$

$p=\rho gh+\frac{F_1}{S_1}$

Stąd:

$F_2=\left(\rho gh+\frac{F_1}{S_1}\right)\cdot S_2$   

Aby układ pozostawał w równowadze siła parcia $F_2$   musi równoważyć siłę ciężkości $F_c$   ciężarka:

$F_2=F_c$  

$F_c=\left(\rho gh+\frac{F_1}{S_1}\right)\cdot S_2$  

Wyznaczmy siłę $F_1$   działającą na mniejszy tłok:

$F_c=\rho gh{S}_2+F_1\cdot \frac{S_2}{S_1}$  

$F_1\cdot \frac{S_2}{S_1}=F_c-\rho gh{S}_2$  

$F_1=\left(F_c-\rho gh{S}_2\right)\cdot \frac{S_1}{S_2}$  

$F_1=F_c\cdot \frac{S_1}{S_2}-\rho gh{S}_1$  

Powierzchnie cylindrycznych tłoków wyznaczmy jako powierzchnię koła:

$S=\pi r^2$

Zatem:

$F_1=F_c\cdot \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}-\rho gh\cdot \pi r_1^2$  

$F_1=F_c\cdot \frac{r_1^2}{r_2^2}-\pi \rho gh{r}_1^2$  

$F_1=mg\cdot \frac{r_1^2}{r_2^2}-\pi \rho gh{r}_1^2$  

$F_1=3\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \frac{{\left(0,05\text{m}\right)}^2}{{\left(0,1\text{m}\right)}^2}-3,14\cdot 800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,1\text{m}\cdot {\left(0,05\text{m}\right)}^2=7,3575\text{N}-6,16068\text{N}=1,19682\text{N}$  

$F_1\approx 1,2\text{N}$