Dane:

$r=384000\text{km}=3,84\cdot {10}^5\text{km}=$  

$=3,84\cdot {10}^5\cdot {10}^3\text{m}=3,84\cdot {10}^8\text{m}$  

$k=1:81$  

Szukane:

$r_1=?$  

Rozwiązanie:

Podane mamy, że stosunek mas jest równy $k$ , czyli możemy zapisać, że:

$\frac{M_K}{M_Z}=\frac{1}{81}$  

gdzie $M_Z$  jest masą Ziemi, $M_K$  jest masą Księżyca. Pomiędzy Ziemią i Księżycem umieszczamy ciało w odległości $r_1$  od Ziemi. Niech masze ciało ma pewną masę $m$ . Wówczas pomiędzy tym ciałem i Ziemią oraz tym ciałem i Księżycem będziemy mieli siły wzajemnego oddziaływania grawitacyjnego. Zauważmy zatem, że:

Zauważmy, że odległość pomiędzy ciałem i Księżycem możemy wyrazić jako:

$r_2=r-r_1$  

Wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_g=\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{r^2}$  

gdzie $G$  jest stałą grawitacji, $m_1$  i $m_2$  są oddziałującymi ze sobą masami, $r$  jest odległością pomiędzy środkami tych mas. Wówczas wartości sił grawitacji działających na ciało wynoszą:

$F_{g.Z}=\frac{Gm{M}_Z}{r_1^2}$  

$F_{g.K}=\frac{Gm{M}_K}{r_2^2}$  

Siły te wzajemnie się równoważą, czyli ich wartości są takie same:

$F_{g.Z}=F_{g.K}$  

Zatem odległość ciała od środka Ziemi będzie wynosiła:

$\frac{Gm{M}_Z}{r_1^2}=\frac{Gm{M}_K}{r_2^2}$  

$\frac{\cancel{Gm}{M}_Z}{r_1^2}=\frac{\cancel{Gm}{M}_K}{{\left(r-r_1\right)}^2}$  

$\frac{M_Z}{r_1^2}=\frac{M_K}{{\left(r-r_1\right)}^2}$  

Wymnażamy na krzyż:

$M_Z{\left(r-r_1\right)}^2=M_K{r}_1^2\mid \sqrt{}$  

$\sqrt{M_Z{\left(r-r_1\right)}^2}=\sqrt{M_K{r}_1^2}$  

$\sqrt{M_Z}\sqrt{{\left(r-r_1\right)}^2}=\sqrt{M_K}\sqrt{r_1^2}$  

$\sqrt{M_Z}\left(r-r_1\right)=\sqrt{M_K}{r}_1$  

$\sqrt{M_Z}r-\sqrt{M_Z}{r}_1=\sqrt{M_K}{r}_1\mid +\sqrt{M_Z}{r}_1$  

$\sqrt{M_Z}r=\sqrt{M_K}{r}_1+\sqrt{M_Z}{r}_1$  

$\sqrt{M_Z}r=\left(\sqrt{M_K}+\sqrt{M_Z}\right)r_1\mid :\left(\sqrt{M_K}+\sqrt{M_Z}\right)$  

$\frac{\sqrt{M_Z}}{\sqrt{M_K}+\sqrt{M_Z}}r=r_1$  

$r_1=\frac{\sqrt{M_Z}}{\sqrt{M_K}+\sqrt{M_Z}}r$  

$r_1=\frac{1}{\frac{\sqrt{M_K}+\sqrt{M_Z}}{\sqrt{M_Z}}}r$  

$r_1=\frac{1}{\frac{\sqrt{M_K}}{\sqrt{M_Z}}+\frac{\sqrt{M_Z}}{\sqrt{M_Z}}}r$  

$r_1=\frac{1}{\frac{\sqrt{M_K}}{\sqrt{M_Z}}+1}r$  

$r_1=\frac{1}{\sqrt{\frac{M_K}{M_Z}}+1}r$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r_1=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{81}}+1}\cdot 3,84\cdot {10}^8\text{m}=\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{81}}+1}\cdot 3,84\cdot {10}^8\text{m}=$  

$=\frac{1}{\frac{1}{9}+1}\cdot 3,84\cdot {10}^8\text{m}=\frac{1}{\frac{1}{9}+\frac{9}{9}}\cdot 3,84\cdot {10}^8\text{m}=$  

$=\frac{1}{\frac{10}{9}}\cdot 3,84\cdot {10}^8\text{m}=\frac{9}{10}\cdot 3,84\cdot {10}^8\text{m}=$  

$=3,456\cdot {10}^8\text{m}\approx 3,5\cdot {10}^8\text{m}$  

Odpowiedź: Odległość pomiędzy Ziemią, a ciałem wynosi około  $3,5\cdot {10}^8\text{m}.$