Dane:

$l=2\text{m}$  

$h=98\text{cm}$  

Szukane:

$f_s=?$  

Rozwiązanie:

Chcemy obliczyć współczynnik tarcia statycznego, czyli musimy rozważyć przypadek graniczny, w którym siła tarcia statycznego zrównoważy siłę ściągająca klocek w dół równi otrzymanej w wyniku podnoszenia deski. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$\overrightarrow{T}$  - siła tarcia,

${\overrightarrow{F}}_g$  - siła ciężkości klocka, 

${\overrightarrow{F}}_{\mid \mid }$  i ${\overrightarrow{F}}_{\perp }$  - składowe siły ciężkości.

Wartość siły ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie $m$  jest masą klocka, $g$  jest wartością przyspieszenia ziemskiego. Z rysunku wynika, że siłą równoważącą siłę tarcia jest składowa siły ciężkości równoległa do powierzchni deski. Zatem:

$T=F_{\mid \mid }$  

Siłę tarcia statycznego możemy przedstawić jako iloczyn współczynnika tarcia i siły nacisku:

$T=f_s{F}_N$  

Z rysunku wynika, że siła nacisku odpowiada składowej siły ciężkości prostopadłej do powierzchni deski:

$F_N=F_{\perp }$  

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych możemy zauważyć, że:

$\sin \alpha =\frac{h}{l}$  

$\sin \alpha =\frac{F_{\mid \mid }}{F_g}\text{, czyli }{F}_{\mid \mid }=F_g\sin \alpha$  

$\cos \alpha =\frac{F_{\perp }}{F_g}\text{, czyli }{F}_{\perp }=F_g\cos \alpha$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej wiemy, że:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\text{, czyli }{\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$  

$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$  

Wówczas wartość siły tarcia klocka na podłoże deski przedstawimy wzorem:

$T=f_s{F}_N$  

$T=f_s{F}_{\perp }$  

$T=f_s{F}_g\cos \alpha$  

$T=f_{s}mg\cos \alpha$  

$T=f_{s}mg\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$  

$T=f_{s}mg\sqrt{1-{\left(\frac{h}{l}\right)}^2}$  

Wartość siły równoważącej siłę tarcia możemy przedstawić wzorem:

$F_{\mid \mid }=F_g\sin \alpha$  

$F_{\mid \mid }=mg\frac{h}{l}$  

Zatem porównując te dwie wartości sił otrzymujemy, że współczynnik tarcia statycznego będzie miał postać:

$T=F_{\mid \mid }$  

$f_s\cancel{mg}\sqrt{1-{\left(\frac{h}{l}\right)}^2}=\cancel{mg}\frac{h}{l}\mid :\sqrt{1-{\left(\frac{h}{l}\right)}^2}$  

$f_s=\frac{h}{l\sqrt{1-{\left(\frac{h}{l}\right)}^2}}$  

$f_s=\frac{h}{l\sqrt{\frac{1}{l^2}\left(l^2-h^2\right)}}$  

$f_s=\frac{h}{l\cdot \frac{1}{l}\sqrt{l^2-h^2}}$  

$f_s=\frac{h}{\sqrt{l^2-h^2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f_s=\frac{0,98\text{m}}{\sqrt{{\left(2\text{m}\right)}^2-{\left(0,98\text{m}\right)}^2}}=\frac{0,98\text{m}}{\sqrt{4{\text{m}}^2-0,9604{\text{m}}^2}}=$  

$=\frac{0,98\text{m}}{\sqrt{3,0396{\text{m}}^2}}\approx \frac{0,98\text{m}}{1,7434\text{m}}\approx$  

$\approx 0,5621\approx 0,56$  

Odpowiedź: Współczynnik tarcia statycznego klocka o powierzchnię deski wynosi 0,56.