Dane:

$m_1=850\mathrm{kg}$  

$m_2=180\mathrm{kg}$  

$F_{\text{w}}=10000\mathrm{N}$    

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. 

$\mathbf{a})$

Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona siły działające na balon równoważą się, dlatego balon porusza się z ruchem jednostajnym. 

 

$\mathbf{b})$  

Teraz balon unosi się w górę, z taką samą wartością prędkości, jak wcześniej opadał. Oznacza to, że w tym przypadku również zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona balon poruszał się ruchem jednostajnym, a siły na niego działające pozostawały w równowadze. Balon zaczął poruszać się ku górze, ponieważ siła ciężkości działająca na balon się zmniejszyła. Balon rozpoczął ruch w górę, pojawiła się więc siła oporu powietrza działająca w dół i ostatecznie wszystkie siły się zrównoważyły.

 

$\mathbf{c})$

Oznaczenia:

${\vec{F}}_{\text{w}}$   - siła wyporu,  

${\vec{F}}_{c1}$ - siła ciężkości balonu wraz z gondolą,   

${\vec{F}}_{c2}$ - początkowa siła ciężkości balastu i ludzi,   

${\vec{F}}_{c3}$ - siła ciężkości ludzi po wyrzuceniu balastu,    

${\vec{F}}_{op}$ - siła oporów powietrza.  

 

 I PRZYPADEK 

 II PRZYPADEK 

 

$\mathbf{d})$

Szukane:

$\Delta m=?$

Rozwiązanie:

Siła wypadkowa jest zerowa, bo balon unosi się i opada ze stałą prędkością. To znaczy, że siły działające na niego w pionie równoważą się. 

W pierwszym przypadku możemy więc zapisać, że:

$F_{op}+F_{\text{w}}=F_{c1}+F_{c2}$  

gdzie:

$F_{op}$ - wartość siły oporu powietrza,

$F_{\text{w}}$ - wartość siły wyporu,

$F_{c1}$ - wartość ciężaru balonu z gondolą,

$F_{c2}$ - wartość ciężaru balastu i pasażerów.

W drugim przypadku z kolei:

$F_{c1}+F_{c3}+F_{op}=F_{\text{w}}$

gdzie:

$F_{c3}$ - wartość ciężaru pasażerów po wyrzuceniu balastu.

Z powyższego wzoru wyznaczamy wyrażenie na wartość siły oporu powietrza:

$F_{c1}+F_{c3}+F_{op}=F_{\text{w}}|-F_{c1}-F_{c3}$  

$F_{op}=F_{\text{w}}-F_{c1}-F_{c3}$  

Możemy więc wstawić wyrażenie na siłę oporów powietrza z jednego równania do drugiego:

$F_{\text{w}}-F_{c1}-F_{c3}+F_{\text{w}}=F_{c1}+F_{c2}$  

Wyprowadzamy wyrażenie na ciężar ludzi po wyrzuceniu balastu z balonu:

$F_{c3}=2F_{\text{w}}-2F_{c1}-F_{c2}$  

Z kolei ciężar wyrzuconego balastu to różnica pomiędzy początkowym balastem wraz z ludźmi oraz po jego wyrzuceniu:

$\Delta F_{\text{b}}=F_{c2}-F_{c3}$  

$\Delta F_{\text{b}}=F_{c2}-\left(2F_{\text{w}}-2F_{c1}-F_{c2}\right)$  

$\Delta F_{\text{b}}=F_{c2}-2F_{\text{w}}+2F_{c1}+F_{c2}$  

$\Delta F_{\text{b}}=2F_{c2}-2F_{\text{w}}+2F_{c1}$  

$\Delta F_{\text{b}}=2\left(F_{c2}-F_{\text{w}}+F_{c1}\right)$  

Ciężary zapisujemy jako iloczyny masy i przyspieszenia i otrzymujemy:

$\Delta F_{\text{b}}=2\left(m_{2}g-F_{\text{w}}+m_{1}g\right)$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$\Delta F_{\text{b}}=2\cdot \left(850\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-10000\text{N}+180\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)=$  

$=2\cdot \left(8500\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-10000\text{N}+1800\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)=$  

$=2\cdot \left(8500\text{N}-10000\text{N}+1800\text{N}\right)=$  

$=2\cdot 300\text{N}=600\text{N}$  

Masa wyrzuconego balastu wynosiła:

$\Delta m=\frac{\Delta F_{\text{b}}}{g}$  

$\Delta m=\frac{600\text{N}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{600\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=60\text{kg}$  

Odpowiedź: Masa wyrzuconego balastu wynosiła 60 kg.