Dane:

$d_1=8\text{cm}$  

$d_2=24\text{cm}$  

$F_1=0,5\text{kN}=500\text{N}$  

$x_2=10\text{cm}=0,1\text{m}$  

Szukane:

$W_1=?$  

$W_2=?$  

Rozwiązanie:

Mamy prasę hydrauliczną:

Naciskając na mniejszy tłok sprawiono, że duży tłok podniósł się o $x_2$ , ale mniejszy tłok obniżył się o $x_1$ .

Zauważmy, że objętość cieczy po lewej stronie prasy musiała się zmniejszyć się o taką samą wartość, o jaką wzrosła objętość cieczy po prawej stronie prasy, czyli:

$V_1=V_2$  

Wiemy, że promienień jest dwukrotnością długości średnicy, czyli pola powierzchni tych tłoków będą wynosiły:

$S_1=\pi r_1^2=\pi {\left(\frac{1}{2}{d}_1\right)}^2=\frac{1}{4}\pi d_1^2$  

$S_2=\pi r_2^2=\pi {\left(\frac{1}{2}{d}_2\right)}^2=\frac{1}{4}\pi d_2^2$  

Zatem objętość po poszczególnych stronach prasy przedstawimy wzorami:

$V_1=S_1{x}_1\text{ oraz }{V}_2=S_2{x}_2$  

Z tego wynika, że odległość o jaką obniżył się mniejszy tłok wynosi:

$V_1=V_2$  

$S_1{x}_1=S_2{x}_2$  

$\cancel{\frac{1}{4}\pi }{d}_1^2{x}_1=\cancel{\frac{1}{4}\pi }{d}_2^2{x}_2\mid :d_1^2$  

$x_1=\frac{d_2^2}{d_1^2}{x}_2$  

$x_1={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2{x}_2$  

Wiemy, że na lewy tłok naciskamy siłą o wartości $F_1$ . Wówczas na prawy tłok będzie działała siła o wartości $F_2$ .

Zgodnie z prawem Pascala ciśnienia wywierane na oba tłoki są takie same. Wiemy, że te ciśnienia możemy przedstawić wzorami:

$p_1=\frac{F_1}{S_1}\text{ oraz }{p}_2=\frac{F_2}{S_2}$  

Zatem siła, z jaką działano na drugi tłok będzie wynosiła:

$p_2=p_1$  

$\frac{F_2}{S_2}=\frac{F_1}{S_1}$  

$\frac{F_2}{\cancel{\frac{1}{4}\pi }{d}_2^2}=\frac{F_1}{\cancel{\frac{1}{4}\pi }{d}_1^2}\mid \cdot d_2^2$  

$F_2=\frac{d_2^2}{d_1^2}{F}_1$  

$F_2={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2{F}_1$  

Zatem praca wykonana przy przesuwaniu pierwszego tłoka będzie wynosiła:

$W_1=F_1{x}_1$  

$W_1=F_1\cdot {\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2{x}_2$  

$W_1={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2{F}_1{x}_2$  

Natomiast praca wykonana przy przesuwaniu drugiego tłoka będzie wynosiła:

$W_2=F_2{x}_2$  

$W_2={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2{F}_1{x}_2$  

Zauważmy, że:

$W_1=W_2={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2{F}_1{x}_2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W_1=W_2={\left(\frac{24\text{cm}}{8\text{cm}}\right)}^2\cdot 500\text{N}\cdot 0,1\text{m}=3^2\cdot 50\text{N}\cdot \text{m}=$  

$=9\cdot 50\text{J}=450\text{J}$  

Odpowiedź: Prace wykonane przez obie siły są takie same i wynoszą 450 J.