Dane:

$u_A=3\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\alpha =60^{\circ }$  

 

$\mathbf{a})$  

UWAGA! Ta część zadania może zostać wykonana na wiele sposobów w zależności od początkowo przyjętego położenia kulek. Poniżej przedstawiamy przykładowy sposób jego rozwiązania.

 

Naszym zadaniem jest przedstawienie na rysunku sytuacji, w jakich znajdują się kulki przed i po zderzeniu. 

Wektory pędów kulek przed i po zderzeniu będą miały takie same kierunki i zwroty, jak wektory prędkości przed i po zderzeniu.

Sytuacja kulek przed zderzeniem - rysujemy jedną kulkę, która się porusza, a druga spoczywa:

Następnie kulki zderzają się niecentralnie sprężyście, czyli nie ma strat energii w układzie. Początkowy wektor pędu kulki poruszającej się rozkłada się na wektor pędu kulki pod kątem $\alpha$ oznaczony przez ${\vec{p}}_A^{\prime }$ oraz wektor prostopadły do niego, czyli ${\vec{p}}_B^{\prime }$ odpowiadający pędowi nabytemu przez kulkę B.

Sytuacja kulek po zderzeniu ma wówczas postać:

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$v_A=?$

$v_B=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie szybkości obu kulek po zderzeniu. Rysunek dla sytuacji kulek po zderzeniu przedstawia zasadę zachowania pędu w tym przypadku. Kulki miały takie same masy:

$m_A=m_B=m$  

Pęd jest wielkością wektorową, której kierunek i zwrot są zgodne z kierunkiem i zwrotem wektora prędkości poruszającego się ciała:

$\vec{p}=m\vec{v}$

gdzie:

$\vec{p}$ - wektor pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$\vec{v}$ - wektor prędkości ciała.

Zatem wartości pędu dla kulek przed zderzeniem ma postać:

$p_A=m{u}_A$

$p_B=0$

gdzie:

$u_A$ - szybkość kulki A przed zderzeniem.

Po zderzeniu wartości pędu kulek będą miały postać:

$p_A^{\prime }=m{v}_A$

$p_B^{\prime }=m{v}_B$

gdzie:

$v_A$ - wartość prędkości kulki A po zderzeniu,

$v_B$ - wartość prędkości kulki B po zderzeniu. 

Z wykonanego w poprzednim podpunkcie rysunku wynika, że:

$\cos \alpha =\frac{p_A^{\prime }}{p_A}$

Wówczas wartość prędkości kulki A po zderzeniu ma postać:

$\frac{p_A^{\prime }}{p_A}=\cos \alpha$

$\frac{\cancel{m}{v}_A}{\cancel{m}{u}_A}=\cos \alpha |\cdot u_A$

$v_A=u_A\cos \alpha$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_A=3\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \cos 60^{\circ }=3\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \frac{1}{2}=1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Z rysunku wynika również, że:

$\sin \alpha =\frac{p_B^{\prime }}{p_A}$

Zatem szybkość drugiej kulki po zderzeniu przedstawimy zależnością:

$\frac{p_B^{\prime }}{p_A}=\sin \alpha$

$\frac{\cancel{m}{v}_B}{\cancel{m}{u}_A}=\sin \alpha |\cdot u_A$

$v_B=u_A\sin \alpha$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_B=3\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sin 60^{\circ }=3\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 0,866=2,598\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 2,6\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Po zderzeniu szybkość kulki A wynosiła 1,5 m/s, a szybkość kulki B wynosiła około 2,6 m/s.