Połączono ze sobą trzy jednakowe płytki, tak jak na...- Zadanie Zadanie 12.: Zrozumieć fizykę 1. Maturalne karty pracy. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$a = 12 cm$

Szukane:

Wyznaczyć położenie środka masy.

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie położenia środka masy trzech jednakowych płytek, które są ze sobą połączone w następujący sposób:

Wiemy, że każda z płytek jest kwadratem o boku $a = 12 cm$ . Co więcej, w treści zadania powiedziane jest, że każda z płytek jest jednorodna. Jeżeli więc każda z tych płytek jest jednorodna i taka sama to zakładamy, że każda kwadratowa płytka ma masę $m$ . Powiedziane jest również w treści zadania, że punkt przecięcia przekątnych jest środkiem masy każdej z płytek. Zatem mając trzy takie same płytki ,rozważamy trzy punkty, które są środkami mas każdej z płytek. Oznaczmy je kolorem czarnym:

Możemy zatem przyjąć, że rozważamy trzy ciała punktowe o masie $m$ , które leżą w środkach trzech płytek, czyli nasze ciała punktowe to czarne kropki. Umieśćmy płytki w układzie współrzędnych, tak że lewy dolny róg układu z rysunku znajduje się w środku układu, pamiętając, że długość jednej krawędzi płytki wynosi $a$ :

Środek masy układu ciał punktowych to punkt, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Wektor położenia środka masy opisuje zależność

$R_{SM} = \frac{\sum _{i} m _{i} r _{i}}{\sum _{i} m _{i}}$

gdzie:

$m_{i}$ - masa $i$ -tego ciała,

$r_{i}$ - wektor położenia $i$ -tego ciała w układzie odniesienia.

Widzimy, że potrzebujemy znać wektory położenia każdego z czarnych punktów. W naszym przypadku wykorzystujemy układ odniesienia związany z lewym dolnym rogiem powstałej bryły i możemy każdy z punktów przedstawić za pomocą współrzędnych $x$ i $y$ . Zatem zamiast wektora położenia możemy zapisać wzory na składowe położenia punktu środka masy:

▶ składowa $x$ punktu środka masy:

$x_{SM} = \frac{\sum _{i} m _{i} x _{i}}{\sum _{i} m _{i}}$

gdzie:

$m_{i}$ - masa $i$ -tego ciała,

$x_{i}$ - składowa $x$ położenia $i$ -tego ciała w układzie współrzędnych.

▶ składowa $y$ punktu środka masy:

$y_{SM} = \frac{\sum _{i} m _{i} y _{i}}{\sum _{i} m _{i}}$

gdzie:

$m_{i}$ - masa $i$ -tego ciała,

$y_{i}$ - składowa $y$ położenia $i$ -tego ciała w układzie współrzędnych.

Zatem dla każdego punktów oznaczonym kolorem czarnym możemy przedstawić jego współrzędne położenia:

Dla poszczególnych punktów mamy współrzędne:

▶ Współrzędne punktu 1:

$(\frac{1}{2} a, \frac{3}{2} a)$

▶ Współrzędne punktu 2:

$(\frac{1}{2} a, \frac{1}{2} a)$

▶ Współrzędne punktu 3:

$(\frac{3}{2} a, \frac{1}{2} a)$

Zatem, korzystając ze wzorów na współrzędne punktu środka masy obliczamy:

▶ składowa $x$ punktu środka masy:

$x_{SM} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} m _{3} x _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}} =$

$= \frac{m \cdot \frac{1}{2} a + m \cdot \frac{1}{2} a + m \cdot \frac{3}{2} a}{m + m + m} =$

$= \frac{m a ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} )}{3 m} =$

$= \frac{\frac{5}{2}}{3} a = \frac{5}{6} a$

Wprowadzając długość krawędzi otrzymamy:

$x_{SM} = \frac{5}{6} \cdot 12 cm =$

$= \frac{5 \cdot 12}{6} cm =$

$= \frac{60}{6} cm = 10 cm$

▶ składowa $y$ punktu środka masy:

$y_{SM} = \frac{m _{1} y _{1} + m _{2} y _{2} + m _{3} y _{3}}{m _{1} + m _{2} + m _{3}} =$

$= \frac{m \cdot \frac{3}{2} a + m \cdot \frac{1}{2} a + m \cdot \frac{1}{2} a}{m + m + m} =$

$= \frac{m a ( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} )}{3 m} =$

$= \frac{\frac{5}{2}}{3} a = \frac{5}{6} a$

Wprowadzając długość krawędzi otrzymamy:

$y_{SM} = \frac{5}{6} \cdot 12 cm =$

$= \frac{5 \cdot 12}{6} cm =$

$= \frac{60}{6} cm = 10 cm$

Zatem współrzędne środka masy powstałej bryły są następujące:

$(x_{SM}, y_{SM}) = (\frac{5}{6} a, \frac{5}{6} a)$

Jednakże wprowadzając wyznaczone wielkości dla danej długości krawędzi płytek otrzymamy:

$(x_{SM}, y_{SM}) = (10 cm, 10 cm)$

Chcemy teraz zaznaczyć środek masy na rysunku. Zauważmy, że krawędź jednej płytki na rysunku ma inną niż ta, którą podali w treści zadania. Korzystając z linijki odczytujemy, że długość krawędzi na rysunku wynosi około:

$a = 1, 2 cm$

W takim wypadku współrzędne środka masy powstałej bryły na rysunku są następujące:

▶ składowa $x$ punktu środka masy:

$x_{SM} = \frac{5}{6} a$