Wyznaczamy wzór na wartość przyspieszenia liniowego rolek. 

Korzystając z funkcji trygonometrycznych, wyznaczmy zależność wartości składowych siły ciężkości od wartości siły ciężkości:

$\sin \alpha =\frac{F_s}{F_g}$, czyli: $F_s=F_g\sin \alpha$

gdzie:

$\alpha$ - kąt nachylenia równi,

$F_s$ - wartość siły zsuwającej,

$F_g$ - wartość siły ciężkości.

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Przyjmujemy oznaczenia z zadania:

$F_g=mg$

Stąd:

$F_s=mg\sin \alpha$

Korzystając, z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego rolki możemy zapisać, że:

$ma=F_s-F_T$  

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego rolki,

$F_T$ - wartość siły tarcia.

Otrzymujemy:

$ma=mg\sin \alpha -F_T$

Teraz wyznaczamy wartość siły tarcia. Skorzystamy z:

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy: $I\epsilon =M$ gdzie: $I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,  $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,  $M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Jednocześnie wiemy, że:

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO A LINIOWEGO Przyspieszenie kątowe w zależności od przyspieszenia liniowego przedstawiamy wzorem: $\epsilon =\frac{a}{r}$ gdzie: $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego,  $a$ - wartość przyspieszenia liniowego,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

W naszym przypadku zapiszemy:

$\epsilon =\frac{a}{r_{\text{zew}}}$  

gdzie:

$r_{\text{zew}}$  - promień zewnętrzny rolki.

Na kulę działa również siła tarcia statycznego, dzięki której kula porusza się bez poślizgu. 

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem: $M=rF$ gdzie: $M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej, $F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną, $r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Oznacza to, że dla naszego przypadku otrzymujemy:

$M=r_{\text{zew}}{F}_T$  

Z powyższych zależności wynika, że wartość siły tarcia działającej na rolkę będzie miała postać:

$r_{\text{zew}}{F}_T=I\epsilon |:r_{\text{zew}}$

$F_T=\frac{I}{r_{\text{zew}}}\epsilon$

Otrzymujemy:

$F_T=\frac{I}{r_{\text{zew}}}\cdot \frac{a}{r_{\text{zew}}}$

$F_T=\frac{I}{r_{\text{zew}}^2}a$

Wracamy do równania wyznaczonego z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego.

$ma=mg\sin \alpha -F_T$

Podstawiamy zależność na wartość siły tarcia.

$ma=mg\sin \alpha -\frac{I}{r_{\text{zew}}^2}a|+\frac{I}{r_{\text{zew}}^2}a$

Wyznaczamy zależność na wartość przyspieszenia.

$ma+\frac{I}{r_{\text{zew}}^2}a=mg\sin \alpha |:m$

$a+\frac{I}{m{r}_{\text{zew}}^2}a=g\sin \alpha$

$a\left(1+\frac{I}{m{r}_{\text{zew}}^2}\right)=g\sin \alpha |:\left(1+\frac{I}{m{r}_{\text{zew}}^2}\right)$

$a=\frac{g\sin \alpha }{1+\frac{I}{m{r}_{\text{zew}}^2}}$

---

Zauważmy, że wzór podany w zadaniu ma postać:

$a=\frac{g\sin \alpha }{1+\frac{I}{{\left(m{r}_{\text{zew}}\right)}^2}}$  

Wzór ten jest błędny, co możemy sprawdzić metodą uzgadniania jednostek:

$\left[a\right]=\frac{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{1+\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{{\left(\text{kg}\cdot \text{m}\right)}^2}}=$  

$=\frac{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{1+\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2\cdot {\text{m}}^2}}=$  

$=\frac{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{1+\frac{1}{\text{kg}}}$  

Zatem przyspieszenie liniowe nie może wrażać się wzorem podanym w zadaniu.