Dane:

$d=30\text{cm}$

$h=35\text{cm}$

$H=30\text{cm}$

$a_{\text{A}}=5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

$a_{\text{E}}=4\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$. 

Szukane:

$a=?$  

Rozwiązanie:

Musimy rozstrzygnąć, która z dziewczynek ma rację. Ania, która uważa, że mogą zwalniać wózek z przyspieszeniem około 5 m/s², czy Ela, która twierdzi, że nie powinny przekroczyć 4 m/s². Dlatego wyznaczymy na początku przyspieszenie wózka w przypadku granicznym. 

Początkowo mamy sytuację, gdy w wiadrze znajduje się woda oraz wózek porusza się ruchem jednostajnym. Wówczas poziom wody w wiadrze jest poziomy:

gdzie:

$d$ - średnica wiadra, 

$h$ - wysokość wiadra,

$H$ - wysokość wody w wiadrze. 

Następnie gdy wózek będzie hamował to na wodę w wózku oprócz jego siły ciężkości będzie działa również siła bezwładności wynikająca z tego, że wózek porusza się z opóźnieniem. Woda w wiadrze przechyla się, ale nie chcemy żeby się z niego wylewała. Wówczas otrzymujemy graniczny przypadek, w którym po jednej stronie wiadra poziom wody maleje, a po drugiej rośnie maksymalnie, tak, aby się z niego nie wylać:

gdzie:

$x$ - różnica poziomów wody w wiadrze, 

$\alpha$ - kąt pod jaki poziomy wody odchylony jest od kierunku poziomego, 

${\vec{F}}_c$ - siła ciężkości cząsteczki wody, 

${\vec{F}}_{c.\parallel }$ - składowa siły ciężkości równoległa do poziomu wody w wiadrze, 

${\vec{F}}_{c.\perp }$ - składowa siły ciężkości prostopadła do poziomu wody w wiadrze, 

${\vec{F}}_b$ - siła bezwładności działająca na cząsteczkę wody, 

${\vec{F}}_{b.\parallel }$ - składowa siły bezwładności równoległa do poziomu wody w wiadrze, 

${\vec{F}}_{b.\perp }$ - składowa siły bezwładności prostopadła do poziomu wody w wiadrze.

Jeżeli woda ma się nie wylewać z wiadra to składowa siły ciężkości równoległa do powierzchni wody musi równoważyć składową siły bezwładności równoległa do powierzchni wody:

$F_{c.\parallel }=F_{b.\parallel }$

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_c=mg$ 

gdzie:

$F_c$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała (cząsteczki wody), 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

W nieinercjalnym układzie odniesienia na ciało w nim się znajdujące działa siła bezwładności zwrócona zawsze przeciwnie do wektora przyspieszenia tego układu. Jej wartość możemy przedstawić wzorem:

$F_b=ma$

gdzie:

$m$ - masa ciała znajdującego się w układzie nieinercjalnym, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się układ.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych otrzymamy, że:

▶ składowa równoległa do poziomu wody siły ciężkości ma wartość:

$\sin \alpha =\frac{F_{c.\parallel }}{F_c}|\cdot F_c$

$F_c\sin \alpha =F_{c.\parallel }$

$F_{c.\parallel }=mg\sin \alpha$

▶ składowa równoległa do poziomy wody siły bezwładności ma postać:

$\cos \alpha =\frac{F_{b.\parallel }}{F_b}|\cdot F_b$

$F_b\cos \alpha =F_{b.\parallel }$

$F_{b.\parallel }=ma\cos \alpha$

Porównując wartości składowych sił otrzymamy:

$F_{b.\parallel }=F_{c.\parallel }$

$\cancel{m}a\cos \alpha =\cancel{m}g\sin \alpha |:\cos \alpha$

$a=g\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

$a=g\mathrm{tg}\alpha$

Nie znamy wartości kąta nachylenia poziomu wody do kierunku poziomego, ale z rysunku możemy zauważyć, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{x}{d}$

Zauważmy jednak, że nie znamy również wielkości $x$. To co wiemy na pewno, to że objętość wody we wiadrze nie uległa zmianie. Wówczas mamy:

gdzie:

$V$ - całkowita objętość wody w wiadrze, 

$V_x$ - objętość części wody w wiadrze powyżej różnicy poziomów, 

$V_{h-x}$ - objętość części wody w wiadrze poniżej różnicy poziomów. 

Zauważmy, że:

$V=V_x+V_{h-x}$

Załóżmy, że wiadro jest walcem. Zatem całkowitą objętość wody w wiadrze obliczymy ze wzoru:

$V=\pi r^{2}H$

gdzie:

$\pi$ - liczba π (pi),

$r$ - długość promienia podstawy wiadra.

Objętość części wody w wiadrze poniżej różnicy poziomów obliczymy ze wzoru:

$V_{h-x}=\pi r^2\left(h-x\right)$

Zauważmy, że objętość części wody w wiadrze powyżej różnicy poziomów będzie połową z objętości części wiadra:

$V_x=\frac{1}{2}{V}_{\text{wiadro.x}}$

Przy czym objętość ta wynosi:

$V_{\text{wiadro.x}}=\pi r^{2}x$

Z powyższych zależności wynika, że wielkość $x$ będzie miała postać:

$V=V_x+V_{h-x}$

$V=\frac{1}{2}{V}_{\text{wiadro.x}}+V_{h-x}$

$\pi r^{2}H=\frac{1}{2}\cdot \pi r^{2}x+\pi r^2\left(h-x\right)$

$\cancel{\pi r^2}H=\frac{1}{2}\cancel{\pi r^2}x+\cancel{\pi r^2}\left(h-x\right)$

$H=\frac{1}{2}x+h-x$

$H=h-\frac{1}{2}x|+\frac{1}{2}x$

$H+\frac{1}{2}x=h|-H$

$\frac{1}{2}x=h-H|\cdot 2$

$x=2\left(h-H\right)$

Oznacza to, że przyspieszenie zwalniające wózek z wiadrem będzie miało postać:

$a=g\mathrm{tg}\alpha$

$a=g\cdot \frac{x}{d}$

$a=g\cdot \frac{2\left(h-H\right)}{d}$

$a=\frac{2\left(h-H\right)g}{d}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a=\frac{2\cdot \left(35\text{cm}-30\text{cm}\right)\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{30\text{cm}}=$

$=\frac{2\cdot 5\cancel{\text{cm}}\cdot \stackrel{1}{\sout{10}}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{\underset{3}{\sout{30}}\cancel{\text{cm}}}=\frac{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{3}\approx$

$\approx 3,333333\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 3,33\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Otrzymaliśmy, że przyspieszenie wózka powinno wynosić około 3,33 m/s². Jest to mniej niż 4 m/s². Zatem Ela miała rację twierdząc, że przyspieszenie wózka nie powinno przekroczyć 4 m/s².

Odpowiedź: Ela ma rację.