Gdzie i jaką czwartą siłę należy przyłożyć do deski...- Zadanie Zadanie 15.2: Zrozumieć fizykę 1. Maturalne karty pracy. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Poniższe rozwiązanie przedstawia jedno w wielu rozwiązań!

Dane:

$F_{1} = 2 N$

$F_{2} = 2 N$

$F_{3} = 4 N$

$a = 2 m$

$b = 3 m$

Szukane:

$F_{4} = ?$

$r_{4} = ?$

Rozwiązanie:

Aby deska nie obróciła się względem osi przechodzącej przez punkt O to momenty wszystkich sił działające na deskę muszą się równoważyć.

Wektor momentu siły obracającej się bryły sztywnej przedstawiamy wzorem:

$M = r \times F$

gdzie $M$ jest wektorem momentu siły bryły sztywnej, $F$ jest wektorem siły działającej na bryłę sztywną w odległości $r$ od jej osi obrotu.

Wówczas wartość momentu siły wyznaczamy jako:

$M = r F sin α$

gdzie $α$ jest kątem pomiędzy wektorem siły i odległości.

Z rysunku wyznaczmy odległości przyłożonych sił od osi obrotu deski:

Zauważmy zatem, że:

$r_{1} = a^{2} + b^{2}$

$r_{2} = \frac{1}{2} a$

$r_{3} = \frac{1}{2} r_{1}$

$sin α = \frac{b}{r _{1}}$

$sin β = sin (180^{\circ} - α) = sin α$

Wówczas wartości momentów sił będą wynosiły:

▶ dla pierwszej siły:

$M_{1} = r_{1} F_{1} sin α_{1}$

$M_{1} = r_{1} F_{1} \frac{b}{r _{1}}$

$M_{1} = b F_{1}$

▶ dla drugiej siły:

$M_{2} = r_{2} F_{2} sin 90^{\circ}$

$M_{2} = r_{2} F_{2}$

$M_{2} = \frac{1}{2} a F_{2}$

▶ dla trzeciej siły:

$M_{3} = r_{3} F_{3} sin β$

$M_{3} = \frac{1}{2} r_{1} F_{3} \frac{b}{r _{1}}$

$M_{3} = \frac{1}{2} b F_{3}$

Skorzystajmy z reguły śruby prawoskrętnej. Wówczas otrzymujemy, że momenty sił pochodzące od sił $F_{1}$ i $F_{2}$ są zwrócone w dół do kartki, natomiast moment siły od siły $F_{3}$ jest zwrócony w górę od kartki. Wówczas wypadkowy moment siły ma wartość:

$M_{w} = M_{1} + M_{2} - M_{3}$

$M_{w} = b F_{1} + \frac{1}{2} a F_{2} - \frac{1}{2} b F_{3}$

$M_{w} = \frac{1}{2} a F_{2} + b (F_{1} - \frac{1}{2} F_{3})$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$M_{w} = \frac{1}{2} \cdot 2 m \cdot 2 N + 3 m \cdot (2 N - \frac{1}{2} \cdot 4 N) = 2 m \cdot N + 3 m \cdot (2 N - 2 N) =$

$= 2 m \cdot N + 3 m \cdot 0 N = 2 m \cdot N$

Wypadkowy moment sił jest zgodny ze zwrotem momentów sił pochodzących od siły 1 i 2. Chcemy, aby deska nie obracała się, czyli była w równowadze. Zatem moment siły 4 działającej w układzie musi być przeciwny do momentu sił od 1 i 2, a zatem zwrócony zgodnie z momentem siły 3.

Przyjmijmy, że wektor siły $F_{4}$ jest prostopadły do wektora promienia wodzącego siły $r_{4}$ . Wówczas otrzymujemy najprostszy przypadek.