$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

Promienie padające na buty Zuzanny odbijają się od nich we wszystkich kierunkach. Wybieramy szczególne promienie padające na dolną krawędź lustra. Po ich odbiciu trafiają one do oczu Zuzanny, tak, że widzi ona obraz swoich butów. Promienie odbijają się od powierzchni lustra zgodnie z prawem odbicia - promień padający i odbity padają pod tym samym kątem. Zauważamy, że istnieje pewne szczególne, najwyższe położenie dolnej krawędzi lustra, dla którego Zuzanna ma możliwość zobaczenia swoich butów.

W przypadku promieni padających na oczy Zuzanny, one również odbijają się we wszystkich kierunkach, natomiast tylko te padające prostopadle na lustro odbiją się i trafią do oczu Zuzanny, tak by mogła obserwować ich obraz.

 

 Odpowiedź: 

 

Dane:

$h=170\mathrm{cm}$

$d=10\mathrm{cm}$

$\mathbf{b})$

Szukane:

$h_{\text{lustro}}=?$

Rozwiązanie:

Rysunek pomocniczy do zadania:

 

Wysokość lustra wyrazimy jako:

$h_{\text{lustro}}=y-x$

gdzie:

$h_{\text{lustro}}$ - wysokość lustra,

$y$ - wysokość zawieszenia górnej krawędzi lustra,

$x$ - wysokość zawieszenia dolnej krawędzi lustra.

Korzystając z rysunku zapisujemy:

$h=y+\frac{1}{2}d$

gdzie:

$h$ - wysokość Zuzanny,

$d$ - odległość oczu od czubka głowy.

Stąd:

$y=h-\frac{1}{2}d$

Jednocześnie możemy zapisać:

$h=2x+d$

$2x=h-d$

$x=\frac{h}{2}-\frac{d}{2}$

Zatem:

$h_{\text{lustro}}=y-x$

$h_{\text{lustro}}=h-\frac{1}{2}d-\left(\frac{h}{2}-\frac{d}{2}\right)$

$h_{\text{lustro}}=h-\frac{1}{2}d-\frac{h}{2}+\frac{d}{2}$

$h_{\text{lustro}}=\frac{h}{2}$

$h_{\text{lustro}}=\frac{170\mathrm{cm}}{2}=85\mathrm{cm}$

Odpowiedź: Lustro musi mieć wysokość 85 cm. 

 

$\mathbf{c})$

Szukane:

$x=?$

Rozwiązanie:

Korzystając z poprzedniego podpunktu zapisujemy:

$x=\frac{h-d}{2}$

$x=\frac{170\mathrm{cm}-10\mathrm{cm}}{2}=\frac{160\mathrm{cm}}{2}=80\mathrm{cm}$

$y=h-\frac{1}{2}d$

$y=170\mathrm{cm}-\frac{1}{2}\cdot 10\mathrm{cm}=170\mathrm{cm}-5\mathrm{cm}=165\mathrm{cm}$

Odpowiedź: Lustro musi być zwieszone na wysokości 80 cm nad podłogą, a jego górna krawędź znajdowałaby się na wysokości 165 cm.