Dane:

$l_m=2,1\text{m}$

$l_g=1,7\text{m}$

 

$\text{a)}$

Szukane:

$\frac{f_m}{f_g}=?$  

Rozwiązanie:

Wiemy, że okres obrotu wskazówki minutowej wynosi 1 godzinę, a godzinowej 12 godzin. Zatem:

$T_m=1\text{h}$

$T_g=12\text{h}$

Częstotliwość jest odwrotnością okresu obrotu, czyli:

$f_m=\frac{1}{T_m}\text{ oraz }{f}_g=\frac{1}{T_g}$

Z tego wynika, że stosunek częstotliwości obrotów tych wskazówek wynosi:

$\frac{f_m}{f_g}=\frac{\frac{1}{T_m}}{\frac{1}{T_g}}$

$\frac{f_m}{f_g}=\frac{T_g}{T_m}$

$\frac{f_m}{f_g}=\frac{12\text{h}}{1\text{h}}$

$\frac{f_m}{f_g}=12$

Odpowiedź: Iloraz częstotliwości obrotów wskazówek zegara wynosi 12.

 

$\text{b)}$

Szukane:

$\frac{v_m}{v_g}=?$  

Rozwiązanie:

Prędkość punktu znajdującego się na końcu wskazówki minutowej ma postać:

$v_m=\frac{2\pi l_m}{T_m}$

Natomiast prędkość punktu znajdującego się na końcu wskazówki godzinowej ma postać:

$v_g=\frac{2\pi l_g}{T_g}$

Zatem stosunek prędkości punktu na wskazówce minutowej do punktu na wskazówce godzinowej ma postać:

$\frac{v_m}{v_g}=\frac{\frac{2\pi l_m}{T_m}}{\frac{2\pi l_g}{T_g}}$

$\frac{v_m}{v_g}=\frac{\cancel{2\pi }{l}_m}{T_m}\cdot \frac{T_g}{\cancel{2\pi }{l}_g}$

$\frac{v_m}{v_g}=\frac{l_m}{T_m}\cdot \frac{T_g}{l_g}$

$\frac{v_m}{v_g}=\frac{l_m}{l_g}\cdot \frac{T_g}{T_m}$

$\frac{v_m}{v_g}=\frac{2,1\text{m}}{1,7\text{m}}\cdot \frac{12\text{h}}{1\text{h}}$

$\frac{v_m}{v_g}=\frac{21}{17}\cdot 12$

$\frac{v_m}{v_g}=\frac{252}{17}$

$\frac{v_m}{v_g}\approx 14,8$

Odpowiedź: Iloraz szybkości liniowych wskazówek zegara wynosi około 14,8.