Dane:

$s_1=1,5\text{km}$

$t_1=18\text{min}=0,3\text{h}$

$s_2=2,6\text{km}$

$t_2=42\text{min}=0,7\text{h}$

$t_{\text{sz}}=4\text{h}$

$t_3=45\text{min}=0,75\text{h}$

Szukane:

$\left|{\vec{v}}_{\text{sˊr}}\right|=\text{?}$

$v_{\text{sˊrw}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Wartość prędkości średniej jest stosunkiem długości wektora przemieszczenia ciała do całkowitego czasu ruchu:

$\left|{\vec{v}}_{\text{sˊr}}\right|=\frac{\left|\Delta \vec{r}\right|}{\Delta t}$

gdzie:

$\left|{\vec{v}}_{\text{sˊr}}\right|$ - wartość prędkości średniej, 

$\left|\Delta \vec{r}\right|$ - wartość wektora przemieszczenia ciała, 

$\Delta t$ - całkowity czas ruchu. 

Zauważmy, że wektor przemieszczenia jest opisywany przez punkt początkowy i punkt końcowy ruchu ciała. W naszym przypadku wiemy, że uczeń wyruszył z domu i po całkowitym czasie ruchu wrócił do domu, czyli wrócił do punktu początkowego. Skoro punkt początkowy i końcowy jest tym samym punktem to wówczas wektor przemieszczenia ciała jest zerowy, czyli wartość wektora przemieszczenia ciała jest równy zero. Oznacza to, że wartość prędkości średniej ucznia jest równa zero, ponieważ wektor przemieszczenia jest zerowy:

$\left|{\vec{v}}_{\text{sˊr}}\right|=0\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Teraz przechodzimy do wyznaczenia średniej wartości prędkości ciała, którą opisujemy wzorem:

$v_{\text{sˊrw}}=\frac{s_c}{t_c}$

gdzie:

$v_{\text{sˊrw}}$ -  średnia wartość prędkości,

$s_c$ - całkowita droga jaką pokonało ciało,

$t_c$ - całkowity czas ruchu ciała.

Rozważmy teraz ruch ciała dzieląc go na trzy etapy.

Etap I

Uczeń w etapie tym przebył odcinek drogi (1) i odcinek drogi (2), zatem droga jaką uczeń przebył w etapie I jest równa sumie odcinka drogi (1) i (2):

$s_I=s_1+s_2$

Natomiast czas trwania tego etapu jest sumą czasu w jakim uczeń pokonał odcinek drogi (1) i (2):

$t_I=t_1+t_2$

Etap II

W etapie tym uczeń przebywał w szkole. Podczas tego etapu uczeń pokonał drogę równą:

$s_{II}=0$

Natomiast czas trwania tego etapu jest równy:

$t_{II}=t_{\text{sz}}$

Etap II

W ostatnim etapie uczeń przebył odcinek drogi (3), która jest drogą "na skróty". Korzystając z rysunku w treści zadania zauważamy, że długość odcinka (3) możemy wyznaczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

$s_3=\sqrt{s_1^2+s_2^2}$

gdzie:

$s_3$ - długość (3) odcinka drogi,

$s_1$ - długość (1) odcinka drogi,

$s_2$ - długość (2) odcinka drogi.

Wówczas droga jaką pokonał uczeń w tym etapie jest równa długości odcinka (3):

$s_{III}=s_3$

$s_{III}=\sqrt{s_1^2+s_2^2}$

Czas trwania tego etapu jest równy czasu w jakim uczeń przebył odcinek drogi (3):

$t_{III}=t_3$

Korzystając z powyższych rozważań zapiszemy, że całkowita droga jaką pokonał uczeń jest równa sumie dróg pokonanych przez ucznia na każdym z etapów ruchu:

$s_c=s_I+s_{II}+s_{III}$

$s_c=s_1+s_2+0+\sqrt{s_1^2+s_2^2}$

$s_c=s_1+s_2+\sqrt{s_1^2+s_2^2}$

Natomiast całkowity czasu ruchu jest równy sumie czasów trwania każdego z etapów:

$t_c=t_I+t_{II}+t_{III}$

$t_c=t_1+t_2+t_{\text{sz}}+t_3$

Wracamy do wzoru na średnią wartość prędkości:

$v_{\text{sˊrw}}=\frac{s_c}{t_c}$

$v_{\text{sˊrw}}=\frac{s_1+s_2+\sqrt{s_1^2+s_2^2}}{t_1+t_2+t_{\text{sz}}+t_3}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_{\text{sˊrw}}=\frac{1,5\mathrm{km}+2,6\mathrm{km}+\sqrt{(1,5\mathrm{km}{)}^2+(2,6\mathrm{km}{)}^2}}{0,3\text{h}+0,7\text{h}+4\text{h}+0,75\text{h}}=$

$=\frac{4,1\mathrm{km}+\sqrt{2,25{\mathrm{km}}^2+6,76{\mathrm{km}}^2}}{1\mathrm{h}+4,75\mathrm{h}}=$

$=\frac{4,1\mathrm{km}+\sqrt{9,01{\mathrm{km}}^2}}{5,75\mathrm{h}}=$

$\approx \frac{4,1\mathrm{km}+3\mathrm{km}}{5,75\mathrm{h}}=$

$=\frac{7,1\mathrm{km}}{5,75\mathrm{h}}\approx 1,24\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości średniej ucznia jest równa 0 ^km/_h, natomiast średnia wartość prędkości wynosi około 1,24 ^km/_h.