Dane:

$m=0,8\text{kg}$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

 

$\mathbf{a})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest określenie, dla jakich punktów pręt będzie znajdował się w stanie równowagi trwałej, a dla jakich w stanie równowagi nietrwałej. Przeanalizujmy wykres dołączony do zadania.  Zauważmy, że początkowa wartość kąta $\alpha$ jest zerowa. Wówczas pręt ma maksymalną wartość energii potencjalnej. Równowagę trwałą mamy dla przypadku, gdy środek ciężkości pręta nie może być już niżej, czyli gdy znajduje się na poziomie zerowym względem, którego rozważamy układ. Oznacza to, że wówczas energia potencjalna musi mieć najmniejszą wartość. Pręt posiada zatem punkt równowagi trwałej dla kąta:

$\alpha =\pi$  

Gdy pręt będzie posiadał maksymalną wartość energii potencjalny to będzie znajdował się w położeniu równowagi, ale nietrwałym. Zatem równowagę nietrwałą będziemy mieli dla kątów $\alpha =0$ oraz $\alpha =2\pi$.

 Odpowiedź: 

Pręt znajduje się w punkcie równowagi trwałej, gdy $\alpha =\pi$. Pręt znajduje się w punkcie równowagi nietrwałej gdy $\alpha =0$ lub $\alpha =2\pi$.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$W=?$

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie pracy, jaką trzeba było wykonać przeprowadzić pręt ze stanu równowagi trwałej do stanu równowagi nietrwałej. Praca ta będzie odpowiadała zmianie energii potencjalnej:

$W=\Delta E_p$  

gdzie:

$W$ - praca, 

$\Delta E_p$ - zmiana energii potencjalnej.

Z wykresu odczytujemy, że w stanie równowagi trwałej, czyli dla $\alpha =\pi$ energia potencjalna ma wartość:

$E_{p.0}=4\text{J}$

Natomiast w stanie równowagi nietrwałej, czyli dla $\alpha =0$ lub $\alpha =2\pi$, energia potencjalna ma wartość:

$E_p=12\text{J}$

Zmiana energii potencjalnej ciała przy przeprowadzeniu go ze stanu równowagi trwałej do nietrwałej to różnica pomiędzy wartościami energii w tych stanach:

$\Delta E_p=E_p-E_{p.0}$  

gdzie:

$E_p$ - energia potencjalna ciała w stanie równowagi nietrwałej, 

$E_{p.0}$ - energia potencjalna w stanie równowagi trwałej.

A zatem praca wykonana przy przeprowadzeniu pręta ze stanu równowagi trwałej do nietrwałej będzie miała postać:

$W=\Delta E_p$  

$W=E_p-E_{p.0}$  

Obliczmy:

$W=12\text{J}-4\text{J}=8\text{J}$

Odpowiedź: Praca wykonana przy przeprowadzeniu pręta ze stanu równowagi trwałej do nietrwałej wynosi $8\text{J}$.

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$l=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie długości pręta. Skoro obrót pręta następował względem osi przechodzącej przez jego dolny koniec to w stanie równowagi trwałej środek ciężkości pręta znajdował się na wysokości $h_0$. Z wykresu odczytujemy,  że wówczas energia potencjalna wynosi:

$E_0=4\text{J}$

ENERGIA POTENCJALNA PRZY POWIERZCHNI ZIEMI Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru: $E_p=mgh$  gdzie: $E_p$  - energia potencjalna ciała, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, $h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Zatem energia potencjalna tego pręta miała wówczas postać:

$E_{p.0}=mg{h}_0$

Wówczas wysokość, na jakiej znajdował się środek ciężkości pręta wynosi:

$mg{h}_0=E_{p.0}|:mg$

$h_0=\frac{E_{p.0}}{mg}$

Wiemy, że środek ciężkości znajduje się w połowie długości pręta, czyli:

$\frac{1}{2}l=h_0$

gdzie:

$l$ - długość pręta.

Wówczas:

$\frac{1}{2}l=\frac{E_{p.0}}{mg}|\cdot 2$

$l=\frac{2E_{p.0}}{mg}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l=\frac{2\cdot 4\text{J}}{0,8\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{8\text{J}}{8\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$

$=\frac{8\text{J}}{8\text{N}}=\frac{8\cancel{\text{N}}\cdot \text{m}}{8\cancel{\text{N}}}=1\text{m}$

Odpowiedź: Długość pręta wynosi $1\text{m}$.