Na rzece zbudowano kładkę...- Zadanie 6.2.9.: Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$l = 4 m$

$F_{1} = 200 N$

$F_{2} = 500 N$

$F_{3} = 400 N$

$a)$

▶ Uzupełniamy rysunek w sytuacji, kiedy dzieci stoją pośrodku kładki.

▶ Uzupełniamy rysunek w sytuacji, kiedy dzieci stoją na krawędziach kładki.

gdzie:

$F_{p 1}$ - siła pochodząca od pierwszej podpory,

$F_{p 2}$ - siła pochodząca od drugiej podpory,

$F_{1}$ - siła ciężkości kładki,

$F_{2}$ - siła ciężkości chłopca,

$F_{3}$ - siła ciężkości dziewczynki.

$b)$

Szukane:

$F_{p 1} = ?$

$F_{p 2} = ?$

Rozwiązanie:

Przypadek I - dzieci stoją pośrodku

Siły, z jakimi podpory działają na belkę z prawej i lewej strony, są takie same:

$F_{p 1} = F_{p 2} = F_{p}$

Wówczas możemy zapisać, równanie sił działających na belkę, z którego wyznaczamy siłę, z jakimi podpory działają na belkę:

$F_{p 1} + F_{p 2} + F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$

Zapisujemy wartości sił i uwzględniamy zwroty sił.

$F_{p 1} + F_{p 2} - F_{1} - F_{2} - F_{3} = 0$

$F_{p} + F_{p} - (F_{1} + F_{2} + F_{3}) = 0 ∣ + (F_{1} + F_{2} + F_{3})$

$F_{p} + F_{p} = F_{1} + F_{2} + F_{3}$

$2 F_{p} = F_{1} + F_{2} + F_{3} ∣ : 2$

$F_{p} = \frac{1}{2} (F_{1} + F_{2} + F_{3})$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_{p} = \frac{1}{2} \cdot (200 N + 500 N + 400 N) = \frac{1}{2} \cdot 1100 N = 550 N$

Wówczas otrzymujemy, że podpory działają na belkę siłami o wartości:

$F_{p 1} = F_{p 2} = 550 N$

Odpowiedź: Podpory działają na belkę siłami o wartości $550 N$ .

$c)$

Szukane:

$Δ F_{p 1} = ?$

$Δ F_{p 2} = ?$

Rozwiązanie:

Przypadek II - dzieci stoją na krawędziach

Korzystając z I zasady dynamiki Newtona dla spoczywającej kładki na rzece otrzymujemy:

$F_{1} + F_{2} + F_{3} + (F_{p 1} + Δ F_{p 1}) + (F_{p 2} + Δ F_{p 2}) = 0$

gdzie:

$Δ F_{p 1}$ - zmiana obciążenia podpory od strony chłopca,

$Δ F_{p 2}$ - zmiana obciążenia podpory od strony dziewczynki.

Zapisujemy wartości sił i uwzględniamy zwroty sił.

$- F_{1} - F_{2} - F_{3} + (F_{p 1} + Δ F_{p 1}) + (F_{p 2} + Δ F_{p 2}) = 0$

Wybierzmy chwilową oś obrotu kładki. Niech będzie to prosta przechodząca przez punkt przyłożenia siły ciężkości chłopca. Korzystając z I zasady dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$M_{1} + M_{2} + M_{3} + M_{p 1} + M_{p 2} = 0$

gdzie:

$M_{1}$ - moment siły ciężkości kładki,

$M_{2}$ - moment siły ciężkości chłopca,

$M_{3}$ - moment siły ciężkości dziewczynki,

$M_{p 1}$ - moment siły pierwszej podpory,

$M_{p 2}$ - moment siły drugiej podpory.

Określamy zwroty momentów sił i zapisujemy sumę wartości momentów sił.

$- M_{1} - M_{2} - M_{3} + M_{p 1} + M_{p 2} = 0$

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:

$M = r F$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Wyrażamy poszczególne wartości momentów sił.

$M_{1} = \frac{1}{2} l F_{1}$

$M_{2} = 0 \cdot F_{2} = 0$

$M_{3} = l F_{3}$

$M_{p 1} = \frac{1}{4} l (F_{p 1} + Δ F_{p 1})$

$M_{p 2} = \frac{3}{4} l (F_{p 2} + Δ F_{p 2})$

Zapisujemy układ równań z równania sił i momentów sił.

${- F_{1} - F_{2} - F_{3} + (F_{p 1} + Δ F_{p 1}) + (F_{p 2} + Δ F_{p 2}) = 0 - M_{1} - M_{2} - M_{3} + M_{p 1} + M_{p 2} = 0$

${- F_{1} - F_{2} - F_{3} + (F_{p 1} + Δ F_{p 1}) + (F_{p 2} + Δ F_{p 2}) = 0 - \frac{1}{2} F_{1} l - 0 - F_{3} l + \frac{1}{4} l (F_{p 1} + Δ F_{p 1}) + \frac{3}{4} l (F_{p 2} + Δ F_{p 2}) = 0 ∣ \cdot (- \frac{4}{l})$

Dodajemy równania stronami:

$\frac{+ { - F _{1} - F _{2} - F _{3} + ( F _{p 1} + Δ F _{p 1} ) + ( F _{p 2} + Δ F _{p 2} ) = 0 2 F _{1} + 4 F _{3} - ( F _{p 1} + Δ F _{p 1} ) - 3 ( F _{p 2} + Δ F _{p 2} ) = 0}{F _{1} - F _{2} + 3 F _{3} - 2 ( F _{p 2} + Δ F _{p 2} ) = 0}$

Otrzymujemy:

$F_{1} - F_{2} + 3 F_{3} - 2 (F_{p 2} + Δ F_{p 2}) = 0$

$F_{1} - F_{2} + 3 F_{3} - 2 F_{p 2} - 2 Δ F_{p 2} = 0 ∣ + 2 Δ F_{p 2}$

$F_{1} - F_{2} + 3 F_{3} - 2 F_{p 2} = 2 Δ F_{p 2}$

Z podpunktu $b)$ wiemy, że:

$F_{p 1} = F_{p 2} = F_{p} = \frac{1}{2} (F_{1} + F_{2} + F_{3})$

Czyli:

$F_{1} - F_{2} + 3 F_{3} - 2 F_{p 2} = 2 Δ F_{p 2}$

$F_{1} - F_{2} + 3 F_{3} - 2 \cdot \frac{1}{2} (F_{1} + F_{2} + F_{3}) = 2 Δ F_{p 2}$

$F_{1} - \underline{F_{2}} + \underline{\underline{3 F_{3}}} - F_{1} - \underline{F_{2}} - \underline{\underline{F_{3}}} = 2 Δ F_{p 2}$

$2 F_{3} - 2 F_{2} = 2 Δ F_{p 2}$

$2 Δ F_{p 2} = 2 F_{3} - 2 F_{2} ∣ : 2$

$Δ F_{p 2} = F_{3} - F_{2}$

Obliczmy teraz zmianę obciążenia z drugiej strony kładki:

$- F_{1} - F_{2} - F_{3} + (F_{p 1} + Δ F_{p 1}) + (F_{p 2} + Δ F_{p 2}) = 0$

$- F_{1} - F_{2} - F_{3} + F_{p 1} + Δ F_{p 1} + F_{p 2} + Δ F_{p 2} = 0$

$- F_{1} - F_{2} - F_{3} + \underline{\frac{1}{2} (F_{1} + F_{2} + F_{3})} + Δ F_{p 1} + \underline{\frac{1}{2} (F_{1} + F_{2} + F_{3})} + F_{3} - F_{2} = 0$

$Δ F_{p 1} - F_{1} - F_{2} - F_{3} + (F_{1} + F_{2} + F_{3}) + F_{3} - F_{2} = 0$

$Δ F_{p 1} - F_{1} - \underline{F_{2}} - \underline{\underline{F_{3}}} + F_{1} + \underline{F_{2}} + \underline{\underline{F_{3}}} + F_{3} - F_{2} = 0$