Dane:

$\alpha =5^{\circ }$

Szukane:

$\mu =\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości współczynnika tarcia, który pozwoli na utrzymanie się osoby niepełnosprawnej na wózku na podjeździe.

Mamy osobę na wózku, która zatrzymała się na równi pochyłej. Na tę osobę działa siła ciężkości ${\vec{F}}_g$ zwrócona pionowo w dół. Zauważmy, że siłę tę możemy rozłożyć na składowe:

• składowa równoległa do powierzchni podjazdu ${\vec{F}}_{\parallel }$,
• składowa prostopadła do powierzchni podjazdu ${\vec{F}}_{\perp }$. 

Wykonajmy rysunek z oznaczeniem wektorów tych sił.

Przyjąć mamy, że współczynnik tarcia między podłożem a kołami wózka inwalidzkiego nie jest zerowy. Skoro więc siła ${\vec{F}}_{\parallel }$ ciągnie osobę na wózku w dół pochylni, to siła tarcia będzie przeciwdziałać temu, zatem siła tarcia ${\vec{F}}_T$ będzie zwrócona w górę pochylni.

Osoba na wózku działa na pochylnie z siłą nacisku ${\vec{F}}_N$, której wartość jest równa wartości składowej siły ciężkości ${\vec{F}}_{\perp }$:

$F_N=F_{\perp }$

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona, jeśli osoba na wózku działa na pochylnie z siłą ${\vec{F}}_N$, to pochylnia będzie działać na osobę na wózku z siłą ${\vec{F}}_R$ (siłą reakcji podłoża) o tej samej wartości i tym samym kierunku, ale przeciwnym zwrocie i innym punkcie przyłożenia. Nanosimy na rysunek pomocniczy wektory tych sił:

W kierunku prostopadłym do powierzchni pochylni siły się równoważą. Natomiast w kierunku równoległym do powierzchni pochylni interesuje nas sytuacja, w której siły również będą się równoważyć. Widzimy, że musi zostać spełniony warunek:

$F_{\parallel }=F_T$

Korzystając z podobieństw trójkątów, oznaczamy na rysunku te same kąty:

Korzystając z rysunku oraz funkcji trygonometrycznych, zapiszemy:

$\frac{F_{\parallel }}{F_g}=\sin \alpha |\cdot Fg$

$F_{\parallel }=F_g\sin \alpha$ 

Natomiast wartość siły tarcia opisuje wzór:

$F_T=\mu F_N$

gdzie:

$F_T$ - wartość siły tarcia,

$\mu$ - wartość współczynnika tarcia,

$F_N$ - wartość siły nacisku.

W rozważanym przez nas przypadku wiemy, że:

$F_N=F_{\perp }$

Korzystając więc z rysunku oraz funkcji trygonometrycznych, zapiszemy:

$\frac{F_{\perp }}{F_g}=\cos \alpha |\cdot F_g$

$F_{\perp }=F_g\cos \alpha$

Wartość siły ciężkości opisuje wzór:

$F_g=mg$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wracamy do warunku:

$F_{\parallel }=F_T$

Podstawiamy wyznaczone wzory:

$F_g\sin \alpha =\mu F_N$

$mg\sin \alpha =\mu F_{\perp }$

$mg\sin \alpha =\mu F_g\cos \alpha$

$mg\sin \alpha =\mu mg\cos \alpha |:mg$

$\sin \alpha =\mu \cos \alpha |:\cos \alpha$

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mu$

$\mu =\mathrm{tg}\alpha$

Podstawiamy dane i obliczamy:

$\mu =\mathrm{tg}{5}^{\circ }\approx 0,087$

Odpowiedź: Minimalny współczynnik tarcia wynosi około $0,087$.