Dane:

$r=30\text{m}$

$a_z=11,33\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

$a_w=10,8\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Szukane:

$x=\text{?}$   

Rozwiązanie: 

Prędkość samochodu jest stała, ale prędkości liniowe kół na zakręcie będą się różniły w zależności od odległości danego koła od osi obrotu. Skoro wszystkie koła przyczepione są do samochodu to wówczas ich prędkość kątowa będzie stała:

${\omega }_z={\omega }_w=\omega$

gdzie:

${\omega }_z$ - prędkość kątowa kół zewnętrznych,

${\omega }_w$ - prędkość kątowa kół wewnętrznych.

W treści zadania mamy podane wartości przyspieszenia dośrodkowego. Wartość przyspieszenia dośrodkowego ciała w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała i przedstawiamy ją wzorem:

$a_d=\frac{v^2}{r}$

gdzie:

$a_d$ - wartość przyspieszenia dośrodkowego,

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Zależność wartości prędkości liniowej od wartości prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega r$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej, 

$\omega$ - wartość prędkości kątowej, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

Wówczas:

$a_d=\frac{(\omega r{)}^2}{r}$

$a_d=\frac{{\omega }^2{r}^{{\xcancel{2}}^1}}{\xcancel{r}}$

$a_d={\omega }^{2}r$

Przekształcamy powyższy wzór:

${\omega }^{2}r=a_d|:r$

${\omega }^2=\frac{a_d}{r}|\sqrt{}$

$\omega =\sqrt{\frac{a_d}{r}}$

W naszym zadaniu szukany jest rozstaw kół samochodu. Wyznaczmy wzór na wartość prędkości kątowej dla koła po zewnętrznej stronie samochodu:

${\omega }_z=\sqrt{\frac{a_z}{r_z}}$

Zgodnie z rysunkiem podanym w treści zadania zapiszemy:

$r_z=r$

Wówczas:

$w_z=\sqrt{\frac{a_z}{r}}$

Teraz zapiszmy wzór na wartość prędkości kątowej dla koła po wewnętrznej stronie samochodu:

$w_w=\sqrt{\frac{a_w}{r_w}}$

Przyjmujemy, że rozstaw kół samochodu wynosi $x$. Wówczas, korzystając z rysunku podanego w treści zadania, zapiszemy:

$r_w=r-x$

Wówczas:

$w_w=\sqrt{\frac{a_w}{r-x}}$

Z poprzednich rozważań wiemy, że prędkości kątowe kół są takie same. Zatem:

$w_z=w_w$

$\sqrt{\frac{a_z}{r}}=\sqrt{\frac{a_w}{r-x}}|{}^2$

$\frac{a_z}{r}=\frac{a_w}{r-x}|\cdot r\left(r-x\right)$

$a_z\left(r-x\right)=a_{w}r$

$a_{z}r-a_{z}x=a_{w}r|+a_{z}x$

$a_{z}r=a_{z}x+a_{w}r|-a_{w}r$

$a_{z}r-a_{w}r=a_{z}x|:a_z$

$\frac{a_z-a_w}{a_z}r=x$

$x=\frac{a_z-a_w}{a_z}r$

$x=\left(\frac{a_z}{a_z}-\frac{a_w}{a_z}\right)r$

$x=\left(1-\frac{a_w}{a_z}\right)r$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$x=\left(1-\frac{10,8\cancel{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}{11,33\cancel{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}\right)\cdot 30\text{m}=$

$\approx \left(1-0,953\right)\cdot 30\text{m}=$

$=0,047\cdot 30\text{m}\approx 1,4\text{m}$

Odpowiedź: Średni rozstaw kół wyniósł około 1,4 m.