Dane:

$l_1=2l_2$

$T_1=60\text{min}$

$T_2=12\text{h}=720\text{min}$

Szukane:

$\frac{v_1}{v_2}=\text{?}$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\text{?}$

Rozwiązanie:

W pierwszej kolejności skupmy się na wyznaczeniu stosunku wartości prędkości kątowej wskazówki minutowej do wskazówki godzinowej. W ogólności rozważamy ruch wskazówki jako ruch po okręgu punktu znajdującego się na końcu wskazówki.

Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - szybkość kątowa ciała, 

$\pi$ - liczba pi, 

$T$ - okres ruchu tego ciała. 

Zapiszemy więc:

▶ Wartość prędkości kątowej wskazówki minutowej

${\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1}$

▶ Wartość prędkości kątowej wskazówki godzinowej

${\omega }_2=\frac{2\pi }{T_2}$

Wówczas stosunek wartości prędkości kątowej wskazówki minutowej do wartości prędkości kątowej wskazówki godzinowej opisuje zależność:

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{\frac{2\pi }{T_1}}{\frac{2\pi }{T_2}}$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{\cancel{2\pi }}{T_1}\cdot \frac{T_2}{\cancel{2\pi }}$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{T_2}{T_1}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{720\text{min}}{60\text{min}}$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=12$

Teraz przejdźmy do wyznaczenia stosunku wartości prędkości liniowych poszczególnych wskazówek.

Zależność wartości prędkości liniowej od wartości prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega r$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej, 

$\omega$ - wartość prędkości kątowej, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

Zapiszemy więc:

▶ Wartość prędkości liniowej wskazówki minutowej

$v_1={\omega }_1{l}_1$

$v_1={\omega }_{1}2l_2$

$v_1=2{\omega }_1{l}_2$

▶ Wartość prędkości liniowej wskazówki godzinowej

$v_2={\omega }_2{l}_2$

Wówczas stosunek wartości prędkości liniowej wskazówki minutowej do wartości prędkości liniowej wskazówki godzinowej opisuje zależność:

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{2{\omega }_1\cancel{l_2}}{{\omega }_2\cancel{l_2}}$

$\frac{v_1}{v_2}=2\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}$

$\frac{v_1}{v_2}=2\cdot 12$

$\frac{v_1}{v_2}=24$

Odpowiedź: Stosunek prędkości liniowej wskazówki minutowej do prędkości liniowej wskazówki godzinowej wynosi 24, natomiast stosunek prędkości kątowej wskazówki minutowej do prędkości kątowej wskazówki godzinowej wynosi 12.