Dane:

$m=4\text{kg}$  

$l=0,7\text{m}$  

${\omega }_1=2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

$r_1=1\text{m}$  

$I_m=6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$  

 

$\mathbf{a})$  

Odpowiedź: 

Zastosowana przez zawodnika technika zwiększania prędkości kątowej wykorzystuje zasadę zachowania momentu pędu.

 

$\mathbf{b})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie zależności prędkości kątowej kuli od promienia okręgu. 

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać: $I=m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności punktu materialnego, $m$ - masa ciała, $r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Początkowy moment bezwładności młota ma postać:

$I_0=m{r}_1^2$  

gdzie:

$I_0$ - początkowy moment bezwładności młota,

$r_1$ - początkowa odległość metalowej kuli od środka ciężkości, czyli od osi obrotu.

Natomiast moment bezwładności po zmniejszeniu odległości ma postać:

$I=m{r}_2^2$  

gdzie:

$r_2$ - zmniejszona odległości kuli od osi obrotu.

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru: $L=I\omega$ gdzie: $L$ - wartość momentu pędu, $I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,  $\omega$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

Początkowy moment pędu miotacza ma postać:

$L_{m.0}=I_m{\omega }_1$

gdzie:

 $L_{m.0}$ - początkowy moment pędu miotacza,

$I_m$ - moment pędu miotacza,

${\omega }_1$ - początkowa szybkość kątowa.

Początkowy moment pędu młota ma postać:

$L_0=I_0{\omega }_1$  

$L_0=m{r}_1^2{\omega }_1$  

Moment pędu miotacza po zmniejszeniu odległości kuli będzie miał postać:

$L_m=I_m\omega$  

gdzie:

$\omega$ - szybkość kątowa miotacza wraz z kulą (zależna od odległości kuli od miotacza).

Zatem moment pędu młota będzie miał postać:

$L=I\omega$  

$L=m{r}_2^2\omega$  

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

$L_m+L=L_{m.0}+L_0$  

$I_m\omega +m{r}_2^2\omega =I_m{\omega }_1+m{r}_1^2{\omega }_1$  

$\left(I_m+m{r}_2^2\right)\omega =\left(I_m+m{r}_1^2\right){\omega }_1\mid :\left(I_m+m{r}_2^2\right)$  

$\omega =\frac{I_m+m{r}_1^2}{I_m+m{r}_2^2}{\omega }_1$  

Wiemy, z treści zadania, że:

$r_2=r_1-x$  

Wówczas:

$\omega =\frac{I_m+m{r}_1^2}{I_m+m{\left(r_1-x\right)}^2}{\omega }_1$  

Dla podanych odległości, z jakimi młot zbliżał się do osi obrotu, obliczamy wartości prędkości kątowych:

✹ dla $x_0=0\text{m}$ mamy:  

${\omega }_0\left(x_0\right)=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}-0\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{10\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{10\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=1\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

✹ dla $x_1=0,1\text{m}$ mamy:    

${\omega }_1\left(x_1\right)=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}-0,1\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(0,9\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 0,81{\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+3,24\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{10\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{9,24\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 1,08\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=2,268\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 2,3\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

✹ dla $x_2=0,2\text{m}$ mamy:    

${\omega }_2\left(x_2\right)=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}-0,2\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(0,8\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 0,64{\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+2,56\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{10\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{8,56\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 1,2\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=2,52\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 2,5\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

✹ dla $x_3=0,3\text{m}$ mamy:    

${\omega }_3\left(x_3\right)=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}-0,3\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(0,7\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 0,49{\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+1,96\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{10\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{7,96\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 1,256\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=2,6376\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 2,6\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

✹ dla $x_4=0,4\text{m}$ mamy:    

${\omega }_4\left(x_4\right)=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}-0,4\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(0,6\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 0,36{\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+1,44\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{10\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{7,44\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 1,344\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=2,8225\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 2,8\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

✹ dla $x_5=0,5\text{m}$ mamy:  

${\omega }_5\left(x_5\right)=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}-0,5\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\left(0,5\text{m}\right)}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot 0,25{\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+4\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+1\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{10\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{7\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=1,4\cdot 2,1\frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=2,94\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 2,9\frac{\text{rad}}{\text{s}}$   

 Odpowiedź: 

Uzupełniona tabela wygląda następująco:

$\mathbf{x}$ - zmiana odległości, $\left(\text{m}\right)$	$0$	$0,1$	$0,2$	$0,3$	$0,4$	$0,5$
${\mathbf{r}}_2={\mathbf{r}}_1-\mathbf{x}$, $\left(\text{m}\right)$	$1$	$0,9$	$0,8$	$0,7$	$0,6$	$0,5$
$\omega \left(\frac{\text{rad}}{\text{s}}\right)$	$2,1$	$2,3$	$2,5$	$2,6$	$2,8$	$2,9$

 

$\mathbf{c})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności szybkości kątowej od odległości młota od osi obrotu.

Wiemy, że zależność $\omega \left(r_2\right)$ ma postać:

$\omega =\frac{I_m+m{r}_1^2}{I_m+m{r}_2^2}{\omega }_1$  

Podstawiając wszystkie znane dane liczbowe, z pominięciem jednostek układu SI, otrzymujemy, że:

$\omega \left(r_2\right)=\frac{6+4\cdot 1^2}{6+4r_2^2}\cdot 2,1$  

$\omega \left(r_2\right)=\frac{6+4\cdot 1}{6+4r_2^2}\cdot 2,1$  

$\omega \left(r_2\right)=\frac{6+4}{6+4r_2^2}\cdot 2,1$  

$\omega \left(r_2\right)=\frac{10}{6+4r_2^2}\cdot 2,1$  

$\omega \left(r_2\right)=\frac{21}{6+4r_2^2}$  

Zaznaczmy na wykresie wartości obliczone w podpunkcie b).

 Odpowiedź: 

Wykres zależności wygląda następująco: