Dane:

$r=50\text{cm}=0,5\text{m}$  

$I=2\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$  

$f=\frac{1}{1\text{s}}=1\frac{1}{\text{s}}$  

$M=0,5\text{N}\cdot \text{m}$  

Szukane:

$t=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie czasu rozpędzania drewnianego koła. Początkowa wartość prędkości kątowej była zerowa:

${\omega }_0=0$  

Szybkość kątową przedstawiamy wzorem:

$\omega ={\omega }_0+\epsilon t$  

gdzie:

 $\omega$ - szybkość kątowa ciała po czasie $t$,

$t$ - czas ruchu ciała,

${\omega }_0$ - początkowa szybkość kątowa,

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego ciała.  

Zatem czas przyspieszania koła roweru do osiągnięcia częstotliwości jednego obrotu na sekundę będzie miał postać:

$\omega =0+\epsilon t$  

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej, do której zostało rozpędzone koło,

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego koła,

$t$ - czas rozpędzania koła.

$\omega =\epsilon t$

$\epsilon t=\omega \mid :\epsilon$  

$t=\frac{\omega }{\epsilon }$  

Szybkość kątową ciała możemy wyrazić za pomocą częstotliwości:

$\omega =2\pi f$

gdzie:

$\omega$ - szybkość kątowa ciała,

$f$ - częstotliwość obrotów ciała.

Wówczas:

$t=\frac{2\pi f}{\epsilon }$  

gdzie:

$f$ - częstotliwość obrotów drewnianego koła.

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I\epsilon =M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy, 

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej, 

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

$I\epsilon =M|:I$

$\epsilon =\frac{M}{I}$  

Dla drewnianego koła możemy zapisać:

$\epsilon =\frac{M}{I}$

gdzie:

$M$ - moment siły rozpędzający koło,

$I$ - moment bezwładności koła.

Zatem czas przyspieszania możemy przedstawić wzorem:

$t=\frac{2\pi f}{\epsilon }$  

$t=\frac{2\pi f}{\frac{M}{I}}$  

$t=\frac{2\pi fI}{M}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{2\pi \cdot 1\frac{1}{\text{s}}\cdot 2\text{kg}\cdot {\text{m}}^{\cancel{2}}}{0,5\text{N}\cdot \cancel{\text{m}}}=\frac{4\pi \text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,5\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=25,12\text{s}\approx 25\text{s}$  

Odpowiedź: Rozpędzanie koła zajmie około $25\text{s}$.