Dane:

$t=3\text{min}=180\text{s}$

$v=2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$d=3\text{m}$

 

$1.1$

Szukane:

$f=\text{?}$

$\omega =\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie częstotliwości z jaką karuzela się obraca oraz jej prędkości kątowej. Zauważmy, że mamy podaną prędkość liniową karuzeli. Wzór na prędkość liniową przyjmuje postać:

$v=2\pi rf$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej,

$\pi$ - liczba pi,

$r$ - promień koła,

$f$ - częstotliwość.

Przekształcając powyższy wzór otrzymamy:

$2\pi rf=v|:2\pi r$

$f=\frac{v}{2\pi r}$

Zauważmy jednak, że w treści zadania mamy podaną średnicę, która jest dwukrotnością promienia:

$d=2r$

gdzie:

$d$ - średnica,

$r$ - promień.

Zatem:

$2r=d|:2$

$r=\frac{d}{2}$

Wówczas:

$f=\frac{v}{\cancel{2}\pi \frac{d}{\cancel{2}}}$

$f=\frac{v}{\pi d}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$f=\frac{2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{3,14\cdot 3\mathrm{m}}=\frac{2}{9,42}\frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\cancel{\mathrm{m}}}\approx 0,21\frac{1}{\mathrm{s}}=0,21\text{Hz}$

Teraz przechodzimy do wyznaczenia prędkości kątowej. Zauważmy, że związek prędkości liniowej od prędkości kątowej jest następujący:

$v=\omega r$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej,

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$r$ - promień okręgu.

Przekształcamy powyższą zależność:

$\omega r=v|:r$

$\omega =\frac{v}{r}$

Zauważmy jednak, że mamy podaną średnicę w treści zadania. Zatem:

$\omega =\frac{v}{\frac{d}{2}}$

$\omega =\frac{2v}{d}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$\omega =\frac{2\cdot 2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{3\mathrm{m}}=\frac{4}{3}\frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\cancel{\mathrm{m}}}\approx 1,3\frac{1}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Częstotliwość wynosi około 0,21 Hz, natomiast prędkość kątowa wynosi około 1,3 ¹/_s (lub 1,3 ^rad/_s).

 

$1.2$

Dane:

$v=2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$t_2=15\text{s}$

Szukane:

$s=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zauważmy, że cały ruch karuzeli możemy podzielić na trzy etapy:

• etap I: karuzela rozpędza się, czyli porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym,
• etap II: karuzela obraca się jednostajnie, czyli porusza się ruchem jednostajnym.
• etap III: karuzela wyhamowuje, czyli porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym.

Zatem całkowita droga przebyta przez pasażera na karuzeli jest równa sumie dróg przebytych na każdym z etapów:

$s=s_I+s_{II}+s_{III}$

W I i III etapie karuzela porusza się takim samym przyspieszeniem (opóźnieniem). W ogólności przyspieszenie ciała opisuje wzór:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

gdzie:

$a$ - przyspieszenie ciała,

$\Delta v$ - zmiana prędkości ciała,

$\Delta t$ - czas w jakim zaszła zmiana prędkości.

Zmianę prędkości ciała opisujemy wzorem:

$\Delta v=v_k-v_p$

gdzie:

$\Delta v$ - zmiana prędkości ciała,

$v_k$ - prędkość końcowa ciała,

$v_p$ - prędkość początkowa ciała.

W przypadku I etapu prędkość początkowa jest zerowa, a prędkość końcowa jest równa prędkości $v$:

$\Delta v_I=v-0$

$\Delta v_I=v$

Natomiast w przypadku III etapu prędkość początkowa jest równa $v$, a prędkość końcowa jest zerowa, ponieważ karuzela w III etapie wyhamowuje. Zatem:

$\Delta v_{III}=0-v$

$\Delta v_{III}=-v$

Czas rozpędzania i wyhamowywania jest taki sam i wynosi $t_2$:

$\Delta t_I=\Delta t_{III}=t_2$

Zapiszemy więc:

$a_I=\frac{\Delta v_I}{\Delta t_I}$

$a_I=\frac{v}{t_2}$

oraz:

$a_{III}=\frac{\Delta v_{III}}{\Delta t_{III}}$

$a_{III}=\frac{-v}{t_2}$

$a_{III}=-\frac{v}{t_2}$

Drogę jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie zmiennym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{p}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_p$ - prędkość początkowa ciała, 

$a$ - przyspieszenia, z jakim porusza się ciało, 

$t$ - czas ruchu ciała. 

Korzystając z powyższego wzoru ora z wcześniej wyznaczonych wielkości zapiszemy, że drogę przebytą w I etapie opisuje wzór:

$s_I=0\cdot t_2+\frac{1}{2}\cdot \frac{v}{\cancel{t_2}}\cdot t_2^{{\cancel{2}}^1}$

$s_I=\frac{1}{2}v{t}_2$

Natomiast drogę przebytą w III etapie opisuje wzór:

$s_{III}=v{t}_2+\frac{1}{2}\left(-\frac{v}{t_2}\right)t_2^2$

$s_{III}=v{t}_2-\frac{1}{2}\frac{v}{\cancel{t_2}}{t}_2^{{\cancel{2}}^1}$

$s_{III}=v{t}_2-\frac{1}{2}v{t}_2$

$s_{III}=\frac{1}{2}v{t}_2$

Zauważmy, że w II etapie ruchu karuzela porusza się ze stałą prędkością, czyli porusza się ruchem jednostajnym. W takim ruchu drogę opisuje wzór:

$s=vt$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v$ - wartość prędkości ciała,

$t$ - czas ruchu ciała.

Wówczas:

$s_{II}=vt$

Wracamy do wzoru na całkowitą przebytą drogę:

$s=s_I+s_{II}+s_{III}$

$s=\frac{1}{2}v{t}_2+vt+\frac{1}{2}v{t}_2$

$s=v{t}_2+vt$

$s=v\left(t_2+t\right)$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$s=2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(180\mathrm{s}+15\mathrm{s}\right)=2\cdot 195\frac{\mathrm{m}}{\cancel{\mathrm{s}}}\cdot \cancel{\mathrm{s}}=390\mathrm{m}$

Odpowiedź: Droga jaką przebył pasażer na karuzeli wynosi około 390 m.

 

$1.3$

Szukane:

$a_{\text{d}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Wartość przyspieszenia dośrodkowego ciała w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała i przedstawiamy ją wzorem:

$a_d=\frac{v^2}{r}$

gdzie:

$a_d$ - wartość przyspieszenia dośrodkowego,

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Zauważmy jednak, że w treści zadania mamy podaną średnicę, która jest dwukrotnością promienia:

$d=2r$

gdzie:

$d$ - średnica,

$r$ - promień.

Zatem:

$2r=d|:2$

$r=\frac{d}{2}$

Wówczas:

$a_{\text{d}}=\frac{v^2}{\frac{d}{2}}$

$a_{\text{d}}=\frac{2v^2}{d}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$a_{\text{d}}=\frac{2\cdot {\left(2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{3\mathrm{m}}=\frac{2\cdot 4\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}{3\mathrm{m}}=$

$=\frac{8}{3}\frac{{\mathrm{m}}^{{\cancel{2}}^1}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{1}{\cancel{\mathrm{m}}}\approx 2,7\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Odpowiedź: Prędkość dośrodkowa wynosi około 2,7 ^m/_s².