Dane:

$n=1200$

$t=1\text{min}=60\text{s}$

$d=40\text{cm}=0,4\mathrm{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$T=\text{?}$

Rozwiązanie:

Częstotliwość możemy przedstawić jako iloraz liczby okrążeń wykonanych przez ciało i czas trwania ruchu ciała:

$f=\frac{n}{t}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość, 

$n$ - liczba okrążeń, 

$t$ - czas trwania tych okrążeń. 

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$f=\frac{1200}{60\mathrm{s}}=20\frac{1}{\mathrm{s}}=20\mathrm{Hz}$

Częstotliwości możemy wyrazić również jako odwrotność okresu:

$f=\frac{1}{T}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość, 

$T$ - okres. 

Wówczas:

$f=\frac{1}{T}|\cdot T$

$fT=1|:f$

$T=\frac{1}{f}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$T=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=\frac{1}{20}\frac{1}{\frac{1}{\mathrm{s}}}=0,05\mathrm{s}$

Odpowiedź: Okres ruchu skarpetki wynosi 0,05 s, natomiast częstotliwość wynosi 20 Hz.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$s=\text{?}$

Rozwiązanie:

Droga przebyta przez skarpetkę w czasie jednego obrotu bębna odpowiada obwodowi tego bębna. Zakładając, że bęben pralki ma kształt koła zapiszemy, że obwód bębna opisuje wzór:

$s=2\pi r$

gdzie:

$s$ - obwód będna,

$\pi$ - liczba pi,

$r$ - promień bębna.

W treści zadania mamy podaną średnią, która jest równa dwukrotności promienia:

$d=2r$

gdzie:

$d$ - średnica bębna,

$r$ - promień bębna.

Przekształcamy powyższy wzór:

$2r=d|:2$

$r=\frac{d}{2}$

Wracamy do wzoru na drogę jaką skarpetka pokonuje w ciągu jednego okresu:

$s=2\pi r$

$s=\cancel{2}\pi \frac{d}{\cancel{2}}$

$s=\pi d$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$s=3,14\cdot 0,4\mathrm{m}=1,256\mathrm{m}$

Odpowiedź: W ciągu jednego okresu skarpetka pokonuje drogę równą 1,256 m.

 

$\mathbf{c})$

Dane:

$T=0,05\mathrm{s}$

Szukane:

$v=\text{?}$

$\omega =\text{?}$

Rozwiązanie:

Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - szybkość kątowa ciała, 

$\pi$ - liczba pi, 

$T$ - okres ruchu po okręgu. 

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$\omega =\frac{2\cdot 3,14}{0,05\mathrm{s}}=\frac{6,28}{0,05}\frac{1}{\mathrm{s}}=125,6\frac{1}{\mathrm{s}}$

Zależność szybkości liniowej od szybkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega r$

gdzie:

$v$ - szybkość liniowa, 

$\omega$ - szybkość kątowa, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

W treści zadania mamy podaną średnią, która jest równa dwukrotności promienia:

$d=2r$

gdzie:

$d$ - średnica okręgu,

$r$ - promień okręgu.

Przekształcamy powyższy wzór:

$2r=d|:2$

$r=\frac{d}{2}$

Wracamy do zależności szybkości liniowej od szybkości kątowej:

$v=\omega r$

$v=\omega \frac{d}{2}$

$v=\frac{\omega d}{2}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v=\frac{125,6\frac{1}{\mathrm{s}}\cdot 0,4\mathrm{m}}{2}=\frac{125,6\cdot 0,4}{2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$=\frac{50,24}{2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=25,12\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\approx 25,1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Prędkość liniowa wynosi około 25,1 ^m/_s, natomiast prędkość kątowa wynosi 125,6 ¹/_s (lub 125,6 ^rad/_s).