Wiemy, że funkcję liniową przedstawiamy wzorem:

$y=ax+b$  

gdzie $a$  jest współczynnikiem kierunkowym prostej, $b$  jest wyrazem wolnym. Niech $\alpha$  będzie katem nachylenia prostej do osi $O_X$ . Narysujmy wykres zależności $y\left(x\right)$  i zaznaczmy na nim punkt przecięcia z osią $O_X$  o współrzędnych $\left(x_1,0\right)$  oraz dowolny punkt o współrzędnych $\left(x_2,y_2\right)$ .

Wówczas:

Zauważmy, że kąt nachylenia prostej od osi możemy wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_2-0}{x_2-x_1}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_2}{x_2-x_1}$  

Wyznaczmy współczynniki prostej:

$\{\begin{array}{l}0=a\cdot x_1+b\mid \cdot \left(-1\right)\\ y_2=a\cdot x_2+b\end{array}$  

$\frac{+\{\begin{array}{l}0=-a\cdot x_1-b\\ y_2=a\cdot x_2+b\end{array}}{y_2=a\cdot x_2-a\cdot x_1}$  

$y_2=a\cdot \left(x_2-x_1\right)\mid :\left(x_2-x_1\right)$  

$\frac{y_2}{x_2-x_1}=a$  

$a=\frac{y_2}{x_2-x_1}$  

Zatem współczynnik kierunkowy prostej ma postać:

$a=\mathrm{tg}\alpha$