Dane:

$m=70\text{kg}$  

${\rho }_m=2,8\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Przyjmujemy, że gęstość wody wynosi:

${\rho }_w={10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Szukane:

$V_1-V_2=?$  

$V_2-V_3=?$  

Rozwiązanie:

Wiemy, że siłę ciężkości rzeźby możemy przedstawić wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie $m$  jest masa rzeźby, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim. Na rzeźbę w wodzie oraz na łódkę działają siły wyporu. Siła wyporu działa na ciało zanurzone w płynie. Jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=\rho gV$  

gdzie $\rho$  jest gęstością cieczy, w której znajduje się ciało, $g$  jest przyspieszeniem grawitacyjnym, $V$  jest objętością wypartej cieczy równą objętości części ciała zanurzonego w płynie. Zatem siła wyporu działająca na łódkę zanurzoną w wodzie w każdym z przedstawionych przypadków ma postać:

$F_{w.1}={\rho }_{w}g{V}_1$  

$F_{w.2}={\rho }_{w}g{V}_2$  

$F_{w.3}={\rho }_{w}g{V}_3$  

W drugim przypadku mamy rzeźbę zanurzoną w wodzie. Jej objętość możemy przedstawić korzystając z definicji gęstości:

$V_{\text{rz}}=\frac{m}{{\rho }_m}$  

gdzie ${\rho }_m$  jest gęstością marmuru. Wówczas siła wyporu działająca na rzeźbę w wodzie ma wartość:

$F_{w.rz}={\rho }_{w}g{V}_{\text{rz}}$  

$F_{w.rz}={\rho }_{w}g\frac{m}{{\rho }_m}$

$F_{w.rz}=\frac{{\rho }_w}{{\rho }_m}mg$

Rozważmy pierwszy przypadek. Zaznaczmy siły działające w układzie:

Korzystając z I zasady dynamiki możemy zapisać, że:

$F_{g.\text{ł}}+F_g=F_{w.1}$  

Wówczas siłę ciężkości łódki możemy przedstawić zależnością:

$F_{g.\text{ł}}+F_g=F_{w.1}\mid -F_g$  

$F_{g.\text{ł}}=F_{w.1}-F_g$  

$F_{g.\text{ł}}={\rho }_{w}g{V}_1-mg$  

W drugim przypadku mamy:

Możemy zauważyć, że pomiędzy rzeźbą, a liną oraz liną i łódką będą działały siły naciągu nici, ale będą miały takie same wartości lecz przeciwne zwroty, więc znoszą się i można je pominąć w dalszych rozważaniach. Zatem z I zasady dynamiki dla tego przypadku otrzymujemy, że:

$F_{g.\text{ł}}+F_g=F_{w.rz}+F_{w.2}$  

Wówczas:

$F_{g.\text{ł}}+mg=\frac{{\rho }_w}{{\rho }_m}mg+{\rho }_{w}g{V}_2$  

Podstawmy wartość ciężkości łódki wyznaczoną w pierwszym przypadku i wyznaczmy różnicę pomiędzy objętością wypartej cieczy w pierwszym i drugim przypadku:

${\rho }_{w}g{V}_1-mg+mg=\frac{{\rho }_w}{{\rho }_m}mg+{\rho }_{w}g{V}_2$  

${\rho }_{w}g{V}_1=\frac{{\rho }_w}{{\rho }_m}mg+{\rho }_{w}g{V}_2\mid :g$  

${\rho }_w{V}_1=\frac{{\rho }_w}{{\rho }_m}m+{\rho }_w{V}_2\mid -{\rho }_w{V}_2$  

${\rho }_w{V}_1-{\rho }_w{V}_2=\frac{{\rho }_{w}m}{{\rho }_m}$  

${\rho }_w\left(V_1-V_2\right)=\frac{{\rho }_{w}m}{{\rho }_m}\mid :{\rho }_w$  

$V_1-V_2=\frac{m}{{\rho }_m}$  

W trzecim przypadku mamy:

Zatem siła ciężkości łódki równoważy siłę jej wyporu:

$F_{g.\text{ł}}=F_{w.3}$  

A zatem:

$F_{g.\text{ł}}={\rho }_{w}g{V}_3$  

${\rho }_{w}g{V}_1-mg={\rho }_{w}g{V}_3$  

Wiemy, że: 

$V_1-V_2=\frac{m}{{\rho }_m}\mid +V_2$  

$V_1=V_2+\frac{m}{{\rho }_m}$  

Wówczas różnica pomiędzy objętością wypartej cieczy w drugim i trzecim przypadku ma postać:

${\rho }_{w}g{V}_1-mg={\rho }_{w}g{V}_3$  

${\rho }_{w}g\left(V_2+\frac{m}{{\rho }_m}\right)-mg={\rho }_{w}g{V}_3$  

${\rho }_{w}g{V}_2+{\rho }_{w}g\frac{m}{{\rho }_m}-mg={\rho }_{w}g{V}_3\mid +mg-{\rho }_{w}g\frac{m}{{\rho }_m}$  

${\rho }_{w}g{V}_2={\rho }_{w}g{V}_3+mg-{\rho }_{w}g\frac{m}{{\rho }_m}\mid -{\rho }_{w}g{V}_3$  

${\rho }_{w}g{V}_2-{\rho }_{w}g{V}_3=mg-{\rho }_{w}g\frac{m}{{\rho }_m}\mid :g$  

${\rho }_w\left(V_2-V_3\right)=m-\frac{{\rho }_{w}m}{{\rho }_m}\mid :{\rho }_w$  

$V_2-V_3=\frac{m}{{\rho }_w}-\frac{m}{{\rho }_m}$  

Podstawiamy dane liczbowe do otrzymanych wzorów:

$V_1-V_2=\frac{70\text{kg}}{2,8\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}=25\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3=25{\text{dm}}^3$  

$V_2-V_3=\frac{70\text{kg}}{{10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}-\frac{70\text{kg}}{2,8\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}=70\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3-25\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3=$  

$=45\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3=45{\text{dm}}^3$