Dane:

$F_c=2,20\text{N}$  

$F_s=1,10\text{N}$  

$\Delta F=0,05\text{N}$  

Przyjmujemy, że przyspieszenie ziemskie oraz gęstość wody wynoszą:

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

${\rho }_w=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

 

$a)$  

Szukane:

$\rho =?$  

Rozwiązanie:

Siłomierz dla kuli zważona w powietrzu wskazał jej ciężar. Zatem:

$F_c=mg$  

gdzie $m$  jest masą kuli, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim. Zatem masę kuli możemy przedstawić wzorem:

$mg=F_c\mid :g$  

$m=\frac{F_c}{g}$  

Siłomierz dla kuli umieszczonej w wodzie wskazuje wypadkową siły ciężkości i wyporu. Wiemy, że siły te mają przeciwne zwroty, czyli:

$F_s=F_c-F_w$  

Siła wyporu działa na ciało zanurzone w płynie. Jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=\rho gV$  

gdzie $\rho$  jest gęstość cieczy, w którym znajduje się ciało, $g$  jest przyspieszeniem grawitacyjnym, $V$  jest objętością wypartej cieczy równą objętości części ciała zanurzonego w płynie. Z tego wynika, że objętość kuli z kości słoniowej ma postać:

$F_s=F_c-F_w\mid +F_w$  

$F_s+F_w=F_c\mid -F_s$  

$F_w=F_c-F_s$  

${\rho }_{w}gV=F_c-F_s\mid :{\rho }_{w}g$  

$V=\frac{F_c-F_s}{{\rho }_{w}g}$  

Zatem z definicji gęstości substancji możemy wyznaczyć gęstość kości słoniowej:

$\rho =\frac{m}{V}$  

$\rho =\frac{\frac{F_c}{g}}{\frac{F_c-F_s}{{\rho }_{w}g}}$  

$\rho =\frac{F_c}{\sout{g}}\cdot \frac{{\rho }_w\sout{g}}{F_c-F_s}$  

$\rho ={\rho }_w\frac{F_c}{F_c-F_s}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\rho =1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{2,20\text{N}}{2,20\text{N}-1,10\text{N}}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{2,20\text{N}}{1,10\text{N}}=$  

$=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 2=2000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Odpowiedź: Gęstość kości słoniowej wynosi 2000 ^kg/_m³.

 

$b)$  

$\rho ={\rho }_w\frac{F_c}{F_c-F_s}$  

$\rho ={\rho }_w\frac{1}{1-\frac{F_s}{F_c}}$  

 

Wyznaczmy błąd pomiaru dla gęstości. Zauważmy, że dla maksymalna wartość gęstości jaką możemy otrzymać to:

${\rho }_{\text{max}}={\rho }_w\frac{1}{1-\frac{F_s+\Delta F}{F_c-\Delta F}}$  

${\rho }_{\text{max}}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{1}{1-\frac{1,10\text{N}+0,05\text{N}}{2,20\text{N}-0,05\text{N}}}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{1}{1-\frac{1,15\text{N}}{2,15\text{N}}}\approx 1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{1}{1-0,535}\approx$

$\approx 1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{1}{0,465}\approx 2151\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$     

 

Natomiast najmniejsza wartość gęstości jaką możemy otrzymać to:

${\rho }_{\text{min}}={\rho }_w\frac{1}{1-\frac{F_s-\Delta F}{F_c+\Delta F}}$  

${\rho }_{\text{max}}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{1}{1-\frac{1,10\text{N}-0,05\text{N}}{2,20\text{N}+0,05\text{N}}}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{1}{1-\frac{1,05\text{N}}{2,25\text{N}}}\approx 1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{1}{1-0,467}\approx$

$\approx 1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{1}{0,533}\approx 1876\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

 

Zatem niepewność pomiaru dla gęstości wynosi:

$\Delta \rho =\frac{1}{2}\left({\rho }_{\text{max}}-{\rho }_{\text{min}}\right)$  

$\Delta \rho =\frac{1}{2}\left(2151\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}-1876\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\right)$  

$\Delta \rho =\frac{1}{2}\cdot 275\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$\Delta \rho \approx 138\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Zatem bezwzględna niepewność pomiaru wynosi:

$\Delta \rho =138\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Natomiast względna niepewność pomiaru wynosi:

${\delta }_{\rho }=\frac{\Delta \rho }{\rho }\cdot 100\%$  

${\delta }_{\rho }=\frac{138\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}{2000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}\cdot 100\%$  

${\delta }_{\rho }=0,069\cdot 100\%$  

${\delta }_{\rho }\approx 6,9\%$