Dane:

$v_1=2,5\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

$v_2=7,5\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

$P_1=5\text{kW}$  

 

$a)$  

Wiemy, że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości. Z II zasady dynamiki możemy zapisać, że siła oporu ma postać:

$F_{op}=ma$  

gdzie $m$  jest masą ciągniętego ciała, $a$  jest jego przyspieszeniem. Wiemy, że przyspieszenie możemy przedstawić jako:

$a=\frac{v}{t}$  

Wówczas zależność siły oporu od prędkości możemy przedstawić jako:

$F_{op}\left(v\right)=m\frac{v}{t}$  

$F_{op}\left(v\right)=\frac{m}{t}v$  

gdzie $\frac{m}{t}$  będzie współczynnikiem proporcjonalności:

$x=\frac{m}{t}$  

Czyli:

$F_{op}\left(v\right)=x\cdot v$  

Wyznaczmy zależność mocy od prędkości. Nie znamy czasu ruchu, ale wiemy, z jaką mocą ciągnięta jest łódź:

$P=\frac{W}{t}$  

gdzie $W$  jest pracą jaką trzeba wykonać, aby ciągnąć łódź w czasie $t$ .  Ponadto pracę wykonuje siła oporu czyli:

$W=F_{op}s$  

gdzie $s$  jest drogą przebytą prze łódź w tym czasie i możemy przedstawić ją wzorem:

$s=vt$  

Zatem:

$P=\frac{W}{t}$  

$P=\frac{F_{op}s}{t}$  

$P=\frac{F_{op}vt}{t}$  

$P=F_{op}v$  

Ponieważ:

$F_{op}=\frac{m}{t}v$  

To:

$P=\frac{m}{t}v\cdot v$  

$P=\frac{m}{t}\cdot v^2$  

$P=x\cdot v^2$  

Zatem moc jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. Wówczas:

$x=\frac{P}{v^2}$  

Zatem możemy zapisać, że:

$x=\frac{P_1}{v_1^2}=\frac{P_2}{v_2^2}$  

Oznacza to, że:

$P_2=P_1\frac{v_2^2}{v_1^2}$  

$P_2=P_1{\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_2=5\text{kW}\cdot {\left(\frac{7,5\frac{\text{km}}{\text{h}}}{2,5\frac{\text{km}}{\text{h}}}\right)}^2=5\text{kW}\cdot 3^2=5\text{kW}\cdot 9=45\text{kW}$  

 

$b)$  

Wiemy, że:

$x=\frac{P}{v^2}$  

Zatem:

$x=\frac{P_1}{v_1^2}$  

$x=\frac{5\text{kW}}{{\left(2,5\frac{\text{km}}{\text{h}}\right)}^2}$  

$x=\frac{5000\text{W}}{{\left(2,5\cdot \frac{1000\text{m}}{3600\text{s}}\right)}^2}$  

$x=\frac{5000\frac{\text{J}}{\text{s}}}{{\left(\frac{1000\text{m}}{1440\text{s}}\right)}^2}$  

$x=\frac{5000\frac{\text{J}}{\text{s}}}{{\left(\frac{25\text{m}}{36\text{s}}\right)}^2}$  

$x=\frac{5000\frac{\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{\text{s}}}{\frac{{\left(25\text{m}\right)}^2}{{\left(36\text{s}\right)}^2}}$  

$x=\frac{5000\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{s}}^3}}{\frac{625{\text{m}}^2}{1296{\text{s}}^2}}$  

$x=5000\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{s}}^3}\cdot \frac{1296{\text{s}}^2}{625{\text{m}}^2}$  

$x=\stackrel{8}{\sout{5000}}\frac{\text{kg}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}}{{\text{s}}^{\cancel{3}}}\cdot \frac{1296\cancel{{\text{s}}^2}}{\underset{1}{\sout{625}}\cancel{{\text{m}}^2}}$  

$x=10368\frac{\text{kg}}{\text{s}}$  

$x\approx 1\cdot {10}^4\frac{\text{kg}}{\text{s}}$