Dane:

$R=20\text{m}$  

$T=5\text{min}=5\cdot 60\text{s}=300\text{s}$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$F_g=500\text{N}$  

 

$a)$  

Na pasażera na diabelskim kole działa siła ciężkości $\overrightarrow{F_g}$  oraz odśrodkowa siła bezwładności  $\overrightarrow{F_{od}}$  wynikająca z ruchu koła:

Siła nacisku pasażera na siedzisko w dolnym położeniu będzie różnicą wartości siły ciężkości i siły odśrodkowej:

$F_{N\text{doˊł}}=F_g+F_{od}$  

Natomiast siła nacisku pasażera na siedzisko w górnym położeniu będzie sumą wartości siły ciężkości i siły dośrodkowej:

$F_{N\text{goˊra}}=F_g-F_{od}$  

Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m{v}^2}{R}$  

gdzie $F_{od}$  jest siłą odśrodkową działającą na ciało o masie $m$  poruszające się z prędkością liniową po okręgu o promieniu $R$ . Wartość szybkości liniowej z jaką obraca się koło możemy przedstawić wzorem:

$v=\omega R=\frac{2\pi R}{T}$  

gdzie $\omega$  jest szybkością kątową koła, $R$  jest promieniem ruchu, $T$  jest okresem ruchu. Nie znamy masy pasażera, ale znamy jego ciężar i wartość przyspieszenia ziemskiego, czyli jego masę możemy przedstawić wzorem:

$m=\frac{F_g}{g}$  

Zatem siłę odśrodkową możemy przedstawić jako:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{R}$  

$F_{od}=\frac{\frac{F_g}{g}{\left(\frac{2\pi R}{T}\right)}^2}{R}$  

$F_{od}=\frac{\frac{F_g}{g}\frac{4{\pi }^2{R}^2}{T^2}}{R}$  

$F_{od}=\frac{F_g}{g}\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}$  

$F_{od}=\frac{4{\pi }^{2}R{F}_g}{g{T}^2}$  

Zatem różnica wartości sił nacisku będzie miała postać:

$\Delta F_N=F_{N\text{doˊł}}-F_{N\text{goˊra}}$  

$\Delta F_N=F_g+F_{od}-\left(F_g-F_{od}\right)$  

$\Delta F_N=\cancel{F_g}+F_{od}-\cancel{F_g}+F_{od}$  

$\Delta F_N=2F_{od}$  

$\Delta F_N=2\cdot \frac{4{\pi }^{2}R{F}_g}{g{T}^2}$  

$\Delta F_N=\frac{8{\pi }^{2}R{F}_g}{g{T}^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta F_N=\frac{8\cdot {3,14}^2\cdot 20\text{m}\cdot 500\text{N}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(300\text{s}\right)}^2}=\frac{8\cdot 9,8596\cdot 20\text{m}\cdot 500\text{N}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 90000{\text{s}}^2}=$  

$=\frac{788768\text{N}\cdot \text{m}}{900000\text{m}}\approx 0,87640889\text{N}\approx 0,88\text{N}$    

 

$b)$  

Wiemy, że siła nacisku w najwyższym punkcie ma postać:

$F_{\text{N goˊra}}=F_g-F_{od}$  

$F_{\text{N goˊra}}=F_g-\frac{4{\pi }^{2}R{F}_g}{g{T}^2}$  

$F_{\text{N goˊra}}=F_g\left(1-\frac{4{\pi }^{2}R}{g{T}^2}\right)$  

Wiemy, że ta siła ma być dwa razy mniejsza od siły ciężkości pasażera, czyli:

$2F_{\text{N goˊra}}=F_g$  

Zatem okres obrotu koła wyniósłby wówczas:

$2F_g\left(1-\frac{4{\pi }^{2}R}{g{T}^2}\right)=F_g\mid :F_g$  

$2\cdot \left(1-\frac{4{\pi }^{2}R}{g{T}^2}\right)=1$  

$2-\frac{8{\pi }^{2}R}{g{T}^2}=1$  

$2=1+\frac{8{\pi }^{2}R}{g{T}^2}$  

$1=\frac{8{\pi }^{2}R}{g{T}^2}$  

$T^2=\frac{8{\pi }^{2}R}{g}$  

$T=\sqrt{\frac{8{\pi }^{2}R}{g}}$  

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^{2}2R}{g}}$  

$T=2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$  

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 20\text{m}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}=6,28\cdot \sqrt{\frac{40\text{m}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}=6,28\cdot \sqrt{4{\text{s}}^2}=12,56\text{s}\approx 13\text{s}$  

---

Wartość prędkości liniowej obliczymy korzystając ze wzoru:

$v=\frac{2\pi r}{T}$  

$v-\text{szybkosˊcˊ liniowa ciała poruszającego się po okręgu}$

$r-\text{promienˊ okręgu}$

$T-\text{okres obrotu}$

 

Zatem dla naszego przypadku otrzymujemy:

$v=\frac{2\pi R}{2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}}$      

$v=\frac{R}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}$      

$v=R\cdot \sqrt{\frac{g}{2R}}$  

$v=\sqrt{R^2\cdot \frac{g}{2R}}$  

$v=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 20\text{m}}=\sqrt{100\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=10\frac{\text{m}}{\text{s}}$