Dane:

$r=0,5\cdot {10}^{-10}\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶  masa spoczynkowa elektronu: $m_e=9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}$ ,

▶ stała elektryczna w próżni: $k=9\cdot {10}^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$ .

Szukane:

$B=?$  

Rozwiązanie:

Na elektron krążący po orbicie atomu wodoru działa siła oddziaływania elektrycznego (Coulomba), która jest równoważona przez odśrodkową siłę bezwładności. Siła Coulomba ma postać:

$F_C=\frac{k{q}_e{q}_p}{r^2}$  

gdzie:

$k$  - współczynnik proporcjonalności,

$q_e$  - ładunek elektronu w atomie wodoru,

$q_p$  - ładunek protonu w atomie wodoru,

$r$  - odległość pomiędzy ładunkami.

Wiedząc, że co do wartości:

$q_e=q_p=e$  

gdzie:

$e$  - wartość ładunku elementarnego.

Możemy zapisać że:

$F_C=\frac{k{e}^2}{r^2}$  

 

Odśrodkową siłę bezwładności przedstawimy wzorem:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$m$  - masa elektronu,

$v$  - szybkość elektronu w ruchu orbitalnym wokół protonu,

$r$  - odległość pomiędzy elektronem i protonem.

 

Porównując te siły wyznaczamy wartość prędkości z jaką porusza się elektron wokół protonu:

$F_{od}=F_C$  

$\frac{m{v}^2}{\cancel{r}}=\frac{k{e}^2}{r^{\cancel{2}}}\mid :m$  

$v^2=\frac{k{e}^2}{rm}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{k{e}^2}{rm}}$  

 

Jeżeli elektron porusza się w polu magnetycznym to działa na niego siła Lorentza. Chcemy, aby poruszał się on po takiej samej orbicie, z taką samą wartością prędkości, jak krążąc wokół protonu w atomie wodoru. Zatem siła Lorentza będzie miała postać:

$F_L=evB$  

gdzie:

$B$  - wartość indukcji pola magnetycznego,

$v$  - szybkość elektronu,

$e$  - wartość ładunku elementarnego,

$F_L$  - wartość siły Lorentza.

Siła ta również jest równoważona przez odśrodkową siłę bezwładności, czyli wartość indukcji pola magnetycznego ma postać:

$F_L=F_{od}$  

$e\cancel{v}B=\frac{m{v}^{\cancel{2}}}{r}\mid :e$  

$B=\frac{m}{er}\cdot v$  

Wstawiamy wyznaczony wzór na wartość prędkości elektronu:

$B=\frac{m}{er}\cdot \sqrt{\frac{k{e}^2}{rm}}$  

$B=\sqrt{\frac{m^2}{e^2{r}^2}}\cdot \sqrt{\frac{k{e}^2}{rm}}$   

$B=\sqrt{\frac{m^2}{e^2{r}^2}\cdot \frac{k{e}^2}{rm}}$   

$B=\sqrt{\frac{m^{\cancel{2}}}{\cancel{e^2}{r}^2}\cdot \frac{k\cancel{e^2}}{r\cancel{m}}}$  

$B=\sqrt{\frac{km}{r^3}}$  

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\sqrt{\frac{9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot 9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}}{{\left(0,5\cdot {10}^{-10}\text{m}\right)}^3}}=\sqrt{\frac{81,99\cdot {10}^{-22}\frac{\text{N}\cdot \text{kg}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}}{{\text{C}}^2}}{0,125\cdot {10}^{-30}{\text{m}}^{\cancel{3}}}}=$  

$=\sqrt{655,92\cdot {10}^8\frac{\text{N}\cdot \text{kg}}{{\text{C}}^2\cdot \text{m}}}=\sqrt{6,5592\cdot {10}^{10}\frac{\text{N}\cdot \text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{s}}^2}{{\text{C}}^2\cdot {\text{m}}^2}}=$  

$=\sqrt{6,5592\cdot {10}^{5\cdot 2}\frac{\text{N}\cdot \text{N}\cdot {\text{s}}^2}{{\text{C}}^2\cdot {\text{m}}^2}}=\sqrt{6,5592\cdot {\left({10}^5\right)}^2{\left(\frac{\text{N}\cdot \text{s}}{\text{C}\cdot \text{m}}\right)}^2}=$  

$=\sqrt{6,5592\cdot {\left({10}^5\right)}^2{T}^2}\approx 2,561094\cdot {10}^5\text{T}\approx 2,56\cdot {10}^6\text{T}$  

Odpowiedź: Indukcja jednorodnego pola magnetycznego powinna wynosić około $2,56\cdot {10}^6\text{T}$ .