Dane:

$t_1=0,5\text{s}$

$\Delta t=0,1\text{s}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości dźwięku w powietrzu: $v_d=340\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Szukane:

$\left|\text{AB}\right|=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie odległości między punktami A i B. Z rysunku przedstawionego w treści zadania odczytujemy, że odległości pomiędzy budynkami 1 i 2 (punkty A i B) oraz uczniem (U) tworzą trójką prostokątny. Przyjmujemy, że dźwięk w powietrzu porusza się ze stałą prędkością o wartości $v_d$, czyli porusza się ruchem jednostajnym od ucznia (U) do budynku 1 (punkt A) oraz od ucznia (U) do budynku 2 (punkt B).

Pierwsze echo zarejestrowano po czasie $t_1$. Z rysunku przedstawionego w treści zadania odczytujemy, że budynek 1 (punkt A) znajduje się bliżej ucznia. Wynika więc z tego, że dźwięk pochodzący od ucznia w czasie $t_1$ przebył dwa razy drogę pomiędzy uczniem a budynkiem 1. Zapiszemy więc:

$s_1=2\cdot \left|\text{UA}\right|$

gdzie:

$s_1$ - droga, jaką przebył dźwięk w czasie $t_1$,

$\left|\text{UA}\right|$ - odległość między uczniem a budynkiem 1 (punkt A).

Przekształcamy powyższy wzór:

$2\cdot \left|\text{UA}\right|=s_1|:2$

$\left|\text{UA}\right|=\frac{1}{2}{s}_1$

Następne echo zarejestrowano po czasie $\Delta t$, czyli echo pochodzące od odbicia się fali dźwiękowej od budynku 2 (punkt B). Oznacza to, że całkowity czas po jakim echo dotrze po odbiciu od drugiego budynku wynosi jest równe sumie czasu $t_1$ i czasu $\Delta t$:

$t_2=t_1+\Delta t$

$t_2$ - czas jaki porusza się dźwięk wysłany w kierunku budynku 2,

$t_1$ - czas jaki porusza się dźwięk wysłany w kierunku budynku 1,

$\Delta t$ - różnica czasowa w powrocie wysłanych dźwięków.

Natomiast droga, którą przebył dźwięk w czasie $t_2$ po odbiciu od budynku 2, jest równa dwukrotności odległości ucznia od budynku 2 (punkt B):

$s_2=2\cdot \left|\text{UB}\right|$

gdzie:

$s_2$ - droga przebyta przez dźwięk wysłany w kierunku budynku 2,

$\left|\text{UB}\right|$ - odległość między uczniem a budynkiem 2.

Przekształcamy powyższy wzór:

$2\cdot \left|\text{UB}\right|=s_2|:2$

$\left|\text{UB}\right|=\frac{1}{2}{s}_2$

Dźwięk porusza się w kierunku budynku 1 oraz w kierunku budynku 2 ze stałą prędkością, czyli porusza się ruchem jednostajnym.

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNYM Jeżeli ciało porusza się z prędkością o stałej wartości, to drogę przebytą przez to ciało w określonej jednostce czasu możemy obliczyć za pomocą wzoru: $s=vt$ gdzie: $s$ - droga,  $v$ - szybkość,  $t$ - czas ruchu.

Wówczas zapiszemy, że wzór na drogę, jaką przebywa dźwięk w czasie $t_1$, wynosi:

$s_1=v_d{t}_1$

Natomiast wzór na drogę, jaką przebywa dźwięk w czasie $t_2$, wynosi:

$s_2=v_d{t}_2$

$s_2=v_d\left(t_1+\Delta t\right)$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy odległość pomiędzy budynkami:

${\left|\text{AB}\right|}^2={\left|\text{UA}\right|}^2+{\left|\text{UB}\right|}^2|\sqrt{}$

$\left|\text{AB}\right|=\sqrt{{\left|\text{UA}\right|}^2+{\left|\text{UB}\right|}^2}$

$\left|\text{AB}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}{s}_1\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}{s}_2\right)}^2}$

$\left|\text{AB}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}{v}_d{t}_1\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}{v}_d\left(t_1+\Delta t\right)\right)}^2}$

$\left|\text{AB}\right|=\sqrt{\frac{1}{4}{v}_d^2{t}_1^2+\frac{1}{4}{v}_d^2{\left(t_1+\Delta t\right)}^2}$

$\left|\text{AB}\right|=\sqrt{\frac{1}{4}{v}_d^2\left[t_1^2+{\left(t_1+\Delta t\right)}^2\right]}$

$\left|\text{AB}\right|=\sqrt{\frac{1}{4}{v}_d^2}\sqrt{t_1^2+{\left(t_1+\Delta t\right)}^2}$

$\left|\text{AB}\right|=\frac{v_d}{2}\sqrt{t_1^2+{\left(t_1+\Delta t\right)}^2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru i obliczamy:

$\left|\text{AB}\right|=\frac{1}{2}\cdot 340\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sqrt{{\left(0,5\text{s}\right)}^2+{\left(0,5\text{s}+0,1\text{s}\right)}^2}=$

$=\frac{340}{2}\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sqrt{0,25{\text{s}}^2+{\left(0,6\text{s}\right)}^2}=$

$=170\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sqrt{0,25{\text{s}}^2+0,36{\text{s}}^2}=$

$=170\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sqrt{0,61{\text{s}}^2}=$

$\approx 170\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 0,781\text{s}=$

$=170\cdot 0,781\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot \cancel{\text{s}}=$

$=132,77\text{m}\approx 133\text{m}$

Odpowiedź: Odległość pomiędzy punktami A i B wynosi około $133\text{m}$.