Dane:

$E_{\max }=13,6\mathrm{eV}$

$v_0=0$

$m=1,008\mathrm{u}$

$k=2$

$n=1$    

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1\mathrm{eV}=1,6\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$. 

▶ zależność pomiędzy jednostką masy atomowej a kilogramem: $1\mathrm{u}=1,66\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}$.

Szukane:

$v=\text{?}$

Rozwiązanie:

Wyznaczmy najpierw energię przejścia elektronu z orbity drugiej na pierwszą. Energia przejścia wyrażona jest wzorem:

$E_{k\to n}=E_1\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{k^2}\right)$

gdzie:

$E_{k\to n}$ - energia przejścia,

$k$ - numer wyższej orbity,

$n$ - numer niższej orbity,

$E_1$ - energia na pierwszej orbicie równoważna energii maksymalnej.

W naszym przypadku elektron przechodzi z drugiej orbity na pierwszą, czyli: 

$E_{2\to 1}=E_{\max }\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)$

$E_{2\to 1}=E_{\max }\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right)$

$E_{2\to 1}=E_{\max }\left(\frac{4}{4}-\frac{1}{4}\right)$

$E_{2\to 1}=\frac{3}{4}{E}_{\max }$

 Jednakże energia ta jest rozdzielona na foton oraz na energię kinetyczną atomu (odrzutu). Korzystając więc z zasady zachowania energii zapiszemy:

$E_{2\to 1}=E_f+E_k$

gdzie:

$E_f$ - rzeczywista energia wyemitowanego fotonu,

$E_k$ - energia kinetyczna atomu (odrzutu).

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Natomiast energię fotonu opisujemy zależnością:

$E_f=p_{f}c$

gdzie:

$E_f$ - energia fotonu,

$p_f$ - pęd fotonu,

$c$ - wartość prędkości światła w próżni,

Uwzględniając wzór na energię kinetyczną atomu oraz energię fotonu otrzymamy z zasady zachowania energii równanie:

$E_{2\to 1}=p_{f}c+\frac{m{v}^2}{2}$

Foton zostanie wyemitowany, a atom zostanie odrzucony z pewną prędkością $\vec{v}$. Wówczas wartość pędu odrzuconego atomu możemy przedstawić wzorem:

$p_a=mv$

gdzie:

$p_a$ - wartość pędu atomu,

$m$ - masa atomu,

$v$ - wartość prędkości odrzutu atomu.

Korzystając z zasady zachowania pędu wiemy, że wartość pędu atomu musi być równy wartości pędu fotonu:

$p_a=p_f$

Wówczas, wracając do równania na zasadę zachowania energii, otrzymamy:

$E_{2\to 1}=p_{f}c+\frac{m{v}^2}{2}$

$E_{2\to 1}=p_{a}c+\frac{m{v}^2}{2}$

$E_{2\to 1}=mvc+\frac{m{v}^2}{2}$

$\frac{3}{4}{E}_{\max }=mvc+\frac{m{v}^2}{2}|:m$

$\frac{3}{4}\frac{E_{max}}{m}=vc+\frac{v^2}{2}|\cdot 2$

$\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m}=2vc+v^2$

$v^2+2vc=\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m}|-\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m}$

$v^2+2cv-\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m}=0$

Otrzymaliśmy więc równanie kwadratowe na wartość prędkości odrzutu atomu. W pierwszej kolejności wyznaczmy deltę:

$\Delta ={\left(2c\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m}\right)=$

$=4c^2+4\cdot \frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m}=$

$=4c^2\left(1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}\right)$

Liczymy pierwiastek z delty:

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4c^2\left(1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}\right)}=$

$=\sqrt{4c^2}\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}=$

$=2c\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}$

Następnie zapisujemy wzoru na dwa rozwiązania:

▶ Rozwiązanie pierwsze:

$v_1=\frac{-2c-2c\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}}{2}=$

$=-\frac{2c\left(1+\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}\right)}{2}=$

$=-c\left(1+\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}\right)$

▶ Rozwiązanie drugie:

$v_2=\frac{-2c+2c\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}}{2}=$

$=\frac{2c\left(-1+\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}\right)}{2}=$

$=c\left(\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}-1\right)$

Interesuje nas rozwiązanie dla, którego wartość prędkości jest większa od zera, czyli wybieramy rozwiązanie drugie:

$v=c\left(\sqrt{1+\frac{3}{2}\frac{E_{max}}{m{c}^2}}-1\right)$

Zanim wprowadzimy dane zamieniamy jednostkę energii $E_{\max }$ na dżule oraz jednostkę masy $m$ na kilogramy:

$E_{\max }=13,6\cdot 1\mathrm{eV}=13,6\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\mathrm{J}=21,76\cdot 10^{-19}\mathrm{J}$

$m=1,008\cdot 1\mathrm{u}=1,008\cdot 1,66\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}=1,67328\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}\approx 1,67\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(\sqrt{1+\frac{3}{2}\cdot \frac{21,76\cdot 10^{-19}\mathrm{J}}{1,67\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot {\left(3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}}-1\right)=$

$=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(\sqrt{1+\frac{3}{2}\cdot \frac{21,76\cdot 10^{-19}\mathrm{J}}{1,67\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot 9\cdot 10^{16}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}-1\right)=$

$=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(\sqrt{1+\frac{3}{2}\cdot \frac{21,67}{1,67\cdot 9}\cdot \frac{10^{-19}}{10^{-27}\cdot 10^{16}}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}-1\right)=$

$=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(\sqrt{1+\frac{3\cdot 21,67}{2\cdot 1,67\cdot 9}\cdot \frac{10^{-19}}{10^{-11}}\frac{\cancel{\mathrm{J}}}{\cancel{\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}}-1\right)=$

$=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(\sqrt{1+\frac{65,01}{30,06}\cdot 10^{-8}}-1\right)=$

$=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(\sqrt{1+2,163\cdot 10^{-8}}-1\right)=$

$=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(\sqrt{1,0000000216}-1\right)=$

$\approx 3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \left(1,0000000108-1\right)=$

$=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 0,0000000108=$

$=3\cdot 10^8\cdot 1,08\cdot 10^{-8}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$=3\cdot 1,08\cdot 10^8\cdot 10^{-8}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$=3,24\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości odrzutu atomu wynosi około 3,24 ^m/_s.

 

---

 

Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania! Zauważmy, że w zapisywaniu równania zasady zachowania energii możemy nie uwzględniać energii kinetycznej odrzutu atomu, ponieważ będzie ona bardzo bardzo mała w porównaniu z energią fotonu.  Zatem równanie przyjmie wtedy postać: $E_{2\to 1}=c{p}_a$ I ostatecznie otrzymamy, że wzór na wartość prędkości odrzutu atomu ma postać: $v=\frac{3}{4}\frac{E_{max}}{mc}$ Wprowadzając dane otrzymamy: $v\approx 3,25\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ Widzimy więc, że uwzględnienie energii odrzutu atomu nie wpływa znacząco na ostateczny wynik, tym bardziej,   ze we wzorach nie wprowadzamy dokładnych wartości stałych np. wartości prędkości światła itp.