Dane:

$a=3\text{m}$  

$b=4\text{m}$  

Szukane:

$\frac{E_A}{E_B}=?$  

Rozwiązanie:

Dla źródła punktowego, scharakteryzowanego przez natężenie promieniowania $I$ , natężenie napromienienia $E$  w dowolnym punkcie płaszczyzny odległej o $r$  od źródła wyniesie:

$E=\frac{I\cos \alpha }{r^2}$  

gdzie $\alpha$  jest kątem pomiędzy odległością od źródła i punktem padania światła oraz normalną do powierzchni padania. Fotometryczne prawo odległości (Lamberta-Beera) można stosować tylko wtedy, gdy odległość źródła od powierzchni oświetlonej jest dostatecznie duża w stosunku do wymiarów źródła. Zauważmy, że dla punktu A i B mamy:

$\text{dla A: }{r}_A=a\text{ oraz }{\alpha }_A=0^{\circ }$  

$\text{dla B: }{r}_B=\sqrt{a^2+b^2}\text{ oraz }{\alpha }_B=\alpha$  

Korzystając z rysunku dołączonego do zadania możemy zauważyć, że:

$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$  

Wówczas natężenie w punkcie A:

$E_A=\frac{I\cos {\alpha }_A}{r_A^2}$  

$E_A=\frac{I\cos 0^{\circ }}{a^2}$  

$E_A=\frac{I\cdot 1}{a^2}$  

$E_A=\frac{I}{a^2}$  

Natomiast natężenie w punkcie B wynosi:

$E_B=\frac{I\cos {\alpha }_B}{r_B^2}$  

$E_B=\frac{I\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2}$  

$E_B=\frac{Ia}{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^3}$  

Wówczas stosunek napromieniowania w poszczególnych punktach wynosi:

$\frac{E_A}{E_B}=\frac{\frac{I}{a^2}}{\frac{Ia}{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^3}}$  

$\frac{E_A}{E_B}=\frac{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^3}{a^3}$  

$\frac{E_A}{E_B}={\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\right)}^3$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\frac{E_A}{E_B}={\left(\frac{\sqrt{{\left(3\text{m}\right)}^2+{\left(4\text{m}\right)}^2}}{3\text{m}}\right)}^3={\left(\frac{\sqrt{9{\text{m}}^2+16{\text{m}}^2}}{3\text{m}}\right)}^3={\left(\frac{\sqrt{25{\text{m}}^2}}{3\text{m}}\right)}^3=$  

$={\left(\frac{5\cancel{\text{m}}}{3\cancel{\text{m}}}\right)}^3=\frac{125}{27}\approx 4,6296\approx 4,63$  

Odpowiedź: Oświetlenie w punkcie A jest około 4,63 razy większe od oświetlenia w punkcie B.