a)

Rysunek do zadania:

Każda z planetoid działa na ciało przyciągającą siłą grawitacji:

$F_{g1}=G\frac{M_{1}m}{R_1^2}$  

$F_{g2}=G\frac{M_{2}m}{R_2^2}$  

$G-\text{stała grawitacji}$

$M_1,M_2-\text{masy planetoid}$

$R_1,R_2-\text{odległosˊci planetoid od punktu O}$    

 

Siły te równoważą się, stąd:

$F_{g1}=F_{g2}$  

$G\frac{M_{1}m}{R_1^2}=G\frac{M_{2}m}{R_2^2}$  

$\frac{M_{1}m}{R_1^2}=\frac{M_{2}m}{R_2^2}$  

$\frac{M_1}{R_1^2}=\frac{M_2}{R_2^2}$  

$\frac{\sqrt{M_1}}{R_1}=\frac{\sqrt{M_2}}{R_2}$  

$\frac{R_1}{R_2}=\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$

 

Wiemy, że:

$R_1+R_2=R$

$R_1=R-R_2$   

$\frac{R-R_2}{R_2}=\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$  

$\frac{R}{R_2}-1=\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$  

$\frac{R}{R_2}=1+\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$  

$R=R_2\cdot \left(1+\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}\right)$  

$R_2=\frac{R}{1+\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}}$  

 

Odp. D.

 

b)

$F_{g21}=F_{g12}$  

 

c)

Zmianie ulegną:

B. położenie środka masy układu wraz z sondą 

C. okres obiegu planetoid wokół środka masy

D. siła oddziaływania grawitacyjnego między planetoidą wraz ze znajdującą się na jej powierzchni sondą