Musimy zbadać wszystkie trzy podpunkty.

---

$\mathbf{a}.\text{ dzˊwignia dwustronna}$  

Zaznaczmy siły działające na układ dźwigni dwustronnej przedstawionej w zadaniu:

gdzie F_g jest siłą ciężkości, F jest siłą z jaką należy działać, F_N jest siłą nacisku wywieraną przez belkę na podporę. Siłę ciężkości ciężarka przedstawimy za pomocą wzoru:

$F_g=mg$  

gdzie F_g jest siłą ciężkości, m jest masą ciężarka, g jest przyspieszeniem ziemskim. Za oś obrotu obieramy miejsce styku belki z podporą, czyli:

$M\left(F_N\right)=0$  

Zauważmy, że siły są prostopadłe do odległości pomiędzy podporą, a miejscem działania siły. Moment siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu możemy przedstawić wzorem:

$M=F\cdot r$  

gdzie M jest momentem siły bryły sztywnej, F jest siłą działającą na bryłę sztywną w odległości r od jej osi obrotu. Z tego wynika, że:

$M_g=F_{g}x\Rightarrow M_g=mgx$  

$M=F\cdot 2x\Rightarrow M=2Fx$  

Aby można było podnieść ciężarek dźwignia powinna poruszać się przynajmniej ruchem jednostajnym, czyli korzystamy z I zasady dynamiki dla ruchu obrotowego. Pamiętamy, że zwroty momentów siły zgodne z ruchem wskazówek zegara są dodatnie, a przeciwne do nich są ujemne. Wówczas otrzymujemy, że siła z jaką należy działać ma postać:

$M-M_g=0$  

$2Fx=mgx\mid :2x$  

$F=\frac{mg}{2}$  

 

$\mathbf{b}.\text{ ruchomy krąz˙ek}$  

Zaznaczmy siły działające na ten układ:

Zauważmy, że dla kołowrotu u góry spełniona jest zależność:

$F=F_n-F\mid +F$  

$2F=F_n$  

$F_n=2F$  

Aby ciężarek był podnoszony do góry przynajmniej ruchem jednostajnym to z I zasady dynamiki ruchu postępowego wiemy, że spełniona musi być zależność:

$F_n-F_g=0\mid +F_g$  

$F_n=F_g$  

$2F=mg\mid :2$  

$F=\frac{mg}{2}$  

 

$\mathbf{c}.\text{ przekładnia}$  

Zaznaczmy na rysunku siły działające na układ:

Wiemy, że przyspieszenie liniowe obu przekładni będzie takie samo:

$a_1=a_2$  

Przyspieszenie kątowe w zależności od przyspieszenia liniowego w ruchu po okręgu:

$a=\epsilon r$  

gdzie a jest przyspieszeniem kątowym, a jest przyspieszeniem liniowym, r jest promieniem. Z tego wynika, że:

$a_1={\epsilon }_1{r}_1\text{ oraz }{a}_2={\epsilon }_2{r}_2$  

Moment siły działający na poszczególne bloczki ma postać:

$M_1=F{r}_1\text{ oraz }{M}_2=F_g{r}_2$  

Moment bezwładności bloczka obracającej się wokół osi przechodzącej przez jego środek ma postać:

$I_b=\frac{1}{2}m{R}^2$  

gdzie m jest masą bloczka, R jest jego promieniem. Z tego wynika, że dla poszczególnych bloczków otrzymujemy:

$I_1=\frac{1}{2}{m}_1{r}_1^2\text{ oraz }{I}_2=\frac{1}{2}{m}_2{r}_2^2$  

Korzystając z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego możemy wyznaczyć przyspieszenie kątowe pierwszego koła:

$I_1{\epsilon }_1=M_1$   

$\frac{1}{2}{m}_1{r}_1^{\sout{2}}{\epsilon }_1=F\sout{r_1}\mid \cdot 2$  

$m_{x}x{\epsilon }_1=2F\mid :m_{x}x$  

${\epsilon }_1=\frac{2F}{m_{x}x}$  

Analogicznie wyznaczamy przyspieszenie kątowe dla drugiego bloczka:

$I_2{\epsilon }_2=M_2$   

$\frac{1}{2}{m}_2{r}_2^{\sout{2}}{\epsilon }_2=F_g\sout{r_2}\mid \cdot 2$  

$m_2{r}_2{\epsilon }_2=2mg\mid :m_2{r}_2$   

${\epsilon }_2=\frac{2mg}{m_2{r}_2}$  

${\epsilon }_2=\frac{2mg}{9m_x\cdot 3x}$  

${\epsilon }_2=\frac{2mg}{27m_{x}x}$  

Zatem korzystając z równości przyspieszeń liniowych otrzymujemy, że wartość siły wynosi:

$a_1=a_2$  

${\epsilon }_1\cdot r_1={\epsilon }_2\cdot r_2$  

$\frac{2F}{m_x\sout{x}}\cdot \sout{x}=\frac{2mg}{\underset{9}{\sout{27}}{m}_x\sout{x}}\cdot \stackrel{1}{\sout{3}}\sout{x}\mid :2$  

$\frac{F}{\sout{m_x}}=\frac{mg}{9\sout{m_x}}$  

$F=\frac{mg}{9}$  

---

Pytanie w zadaniu dotyczyło wyboru najbardziej wydajnej maszyny. Dla poszczególnych maszyn otrzymaliśmy wyniki:

$\mathbf{a}.\text{ dzˊwignia dwustronna: }{F}_{\text{a}}=\frac{mg}{2}$  

$\mathbf{b}.\text{ ruchomy krąz˙ek: }{F}_{\text{b}}=\frac{mg}{2}$  

$\mathbf{c}.\text{ przekładania: }{F}_{\text{c}}=\frac{mg}{9}$  

Z tego wynika, że:

$F_{\text{a}}=F_{\text{b}}>F_{\text{c}}$  

$\text{Odpowiedzˊ:}$ Aby uzyskać najmniejszą siłę potrzebną do podniesienia ciężarka powinniśmy wybrać przekładnię.