Dane:

$b=6cm=0,06m$  

$h=1,8cm=0,018m$  

$l=25cm=0,25m$  

$U=500V$  

$s=21cm=0,21m$  

$e=1,6\cdot {10}^{-19}C$  

$m=9,1\cdot {10}^{-31}kg$  

Szukane:

$v_0=?$  

Rozwiązanie:

Zacznijmy od wyznaczenia przyspieszenia z jakim porusza się elektron pomiędzy płytkami podłączonymi do napięcia  $U.$  Na elektrony działa siła elektrostatyczna. Siłę elektrostatyczną przedstawiamy wzorem:

$F_e=E\cdot q$  

gdzie F_e jest siłą elektrostatyczną działającą na cząstkę o wartości ładunku q znajdującą się w polu elektrostatycznym o natężeniu E. Natężenie pola elektrostatycznego obliczamy korzystając z wzoru:

$E=\frac{U}{d}$  

gdzie E jest natężeniem pola elektrostatycznego o napięciu U pomiędzy dwoma powierzchniami odległymi od siebie o d. Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że siła elektrostatyczna na postać:

$F_e=E\cdot e$  

$F_e=\frac{U}{d}\cdot e$  

$F_e=\frac{U\cdot e}{d}$  

Korzystając z II zasady dynamiki otrzymujemy, że przyspieszenie elektronu w polu elektrostatycznym ma postać:

$ma=F_e$  

$ma=\frac{Ue}{h}\mid :m$  

$a=\frac{Ue}{mh}$  

Następnie rozważmy prędkości końcowe cząstki. Elektron wychodzący z pola ma prędkość  $v$ , której składowe prędkości wynoszą  $v_x$  i  $v_y$ . Składowa pozioma prędkości jest równa poziomej prędkości początkowej nadanej elektronowi:

$v_x=v_0$  

Natomiast składowa pionowa początkowa miała zerową wartość i pod wpływem pola elektrostatycznego wzrosła, dlatego korzystając z wzoru a prędkość w ruchu przyspieszonym otrzymujemy:

$v_y=a\cdot t_1$  

Zauważmy, że: 

$t_1=\frac{b}{v_0}$  

Wówczas:

$v_y=a\cdot t_1$  

$v_y=\frac{Ue}{mh}\cdot \frac{b}{v_0}$  

$v_y=\frac{Ueb}{mh{v}_0}$  

Obliczmy odchylenie elektronu. Korzystajmy z wzoru na drogę przebytą w ruchu przyspieszonym:

$y=\frac{1}{2}a{t}_1^2$  

$y=\frac{1}{2}\cdot \frac{Ue}{mh}\cdot {\left(\frac{b}{v_0}\right)}^2$  

$y=\frac{1}{2}\cdot \frac{Ue}{mh}\cdot \frac{b^2}{v_0^2}$  

$y=\frac{Ue{b}^2}{2mh{v}_0^2}$  

Zauważmy, że po opuszczeniu pola elektrostatycznego elektron w poziomo pokona drogę  $l$ , a pionowo  $s-y$ . Wówczas korzystając z twierdzenia Talesa możemy zapisać, że:

$\frac{v_x}{v_y}=\frac{l}{s-y}$  

$\frac{v_0}{\frac{Ueb}{mh{v}_0}}=\frac{l}{s-\frac{Ue{b}^2}{2mh{v}_0^2}}$  

$\frac{mh{v}_0^2}{Ueb}=\frac{l}{\frac{1}{2mh{v}_0^2}\cdot \left(2mh{v}_0^{2}s-Ue{b}^2\right)}$  

$\frac{\sout{mh{v}_0^2}}{Ueb}=\frac{2\sout{mh{v}_0^2}l}{2mh{v}_0^{2}s-Ue{b}^2}$  

$\frac{1}{Ueb}=\frac{2l}{2mh{v}_0^{2}s-Ue{b}^2}$  

Wymnażamy na krzyż:

$2mh{v}_0^{2}s-Ue{b}^2=2lUeb\mid +Ue{b}^2$  

$2mh{v}_0^{2}s=2lUeb+Ue{b}^2$  

$2mh{v}_0^{2}s=Ueb\left(2l+b\right)\mid :2mhs$  

$v_0^2=\frac{Ueb\left(2l+b\right)}{2mhs}\mid \sqrt{}$  

$v_0=\sqrt{\frac{Ueb\left(2l+b\right)}{2mhs}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_0=\sqrt{\frac{500V\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}C\cdot 0,06m\cdot \left(2\cdot 0,25m+0,06m\right)}{2\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}kg\cdot 0,018m\cdot 0,21m}}=$  

$=\sqrt{\frac{500\frac{J}{\sout{C}}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\sout{C}\cdot 0,06m\cdot \left(0,5m+0,06m\right)}{0,068796\cdot {10}^{-31}kg\cdot m^2}}\approx$  

$=\sqrt{\frac{500J\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\cdot 0,06\sout{m}\cdot 0,56\sout{m}}{6,9\cdot {10}^{-33}kg\cdot \sout{m^2}}}=\sqrt{\frac{26,88\cdot {10}^{-19}\sout{kg}\cdot \frac{m^2}{s^2}}{6,9\cdot {10}^{-33}\sout{kg}}}\approx$  

$\approx \sqrt{3,89565\cdot {10}^{14}\frac{m^2}{s^2}}\approx 1,97\cdot {10}^7\frac{m}{s}$  

Odp.: Początkowa prędkość elektronu wynosiła około  $1,97\cdot {10}^7\frac{m}{s}.$