Dane:

$d=10cm$  

$n=1,5$  

Szukane:

$R=?$  

Rozwiązanie:

Znamy grubość płytki oraz wiemy, że nie chcemy zobaczyć światła. Oznacza to, że kąt padania na granicę ośrodków musi być kątem granicznym. Korzystając z prawa Snella dla przypadku granicznego wiemy, że:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{n_2}{n_1}$  

gdzie ${\alpha }_{\text{gr}}$  jest kątem padania, $n_1$  jest współczynnikiem załamania ośrodka padania światła, $n_2$  jest współczynnikiem załamania ośrodka załamania światła. Wiemy, że współczynnik załamania powietrza wynosi    $n_p\approx 1$ . Wykonajmy rysunek opisujący sytuację przedstawioną w zadaniu:

Korzystając z prawa Snella możemy zapisać, że:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{1}{n}$  

Natomiast korzystając z własności trygonometrycznych otrzymujemy, że:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{R}{l}$  

gdzie $l$  jest długością promienia i korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$l^2=R^2+d^2\Rightarrow l=\sqrt{R^2+d^2}$  

Z powyższych zależności wyznaczmy promień metalowego krążka:

$\frac{R}{l}=\sin {\alpha }_{\text{gr}}$  

$\frac{R}{l}=\frac{1}{n}$  

$Rn=l$  

$Rn=\sqrt{R^2+d^2}{\mid }^2$  

$R^2{n}^2=R^2+d^2\mid -R^2$  

$R^2{n}^2-R^2=d^2$  

$R^2\left(n^2-1\right)=d^2\mid :\left(n^2-1\right)$  

$R^2=\frac{d^2}{n^2-1}\mid \sqrt{}$  

$R=\frac{d}{\sqrt{n^2-1}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R=\frac{10cm}{\sqrt{{1,5}^2-1}}=\frac{10cm}{\sqrt{2,25-1}}=\frac{10cm}{\sqrt{1,25}}\approx \frac{10cm}{1,12}\approx 8,93cm$  

Odp.: Promień metalowego krążka wynosi około  $8,93cm.$