Dane:

$n_f=1,53$  

$n_c=1,51$  

Szukane:

$\phi =?$  

Rozwiązanie:

Z treści zadania wynika, że promień fioletowy ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu. Niech $\alpha$  oznacza kąt padania na granicy ośrodków pryzmat - powietrze. Wiemy, że współczynnik załamania światła w powietrzu wynosi $n_{\text{powietrza}}=1$ .  Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=n_{2\text{/}1}=\frac{n_2}{n_1}$  

Z tego wynika, że dla światła fioletowego wychodzącego z pryzmatu mamy:

$\frac{\sin {\alpha }_f}{\sin {90}^{\circ }}=\frac{1}{n_f}$  

$\sin {\alpha }_f=\frac{1}{n_f}$  

Ponadto wiemy, że światło fioletowe ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu, czyli:

$\sin \alpha \ge \sin {\alpha }_f$  

gdzie ${\beta }_c$  jest kątem załamania światła czerwonego po wyjściu z pryzmatu. Światło czerwone ulega załamaniu, czyli kąt padania musi być mniejszy od kąta granicznego dla światła czerwonego. Kąt graniczny dla światła czerwonego będzie miał postać:

$\sin {\alpha }_{c\text{gr}}=\frac{1}{n_c}$  

Wówczas kąt padania musi spełniać zależność:

$\sin \alpha \le \sin {\alpha }_{c\text{gr}}$  

Z tego wynika, że:

$\sin {\alpha }_f\le \sin \alpha \le \sin {\alpha }_{c\text{gr}}$  

$\frac{1}{n_f}\le \sin \alpha \le \frac{1}{n_c}$  

Wykonajmy rysunek przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu:

Korzystając z rysunku możemy zauważyć, że:

$\alpha +\gamma ={90}^{\circ }\text{ oraz }\phi +\gamma ={90}^{\circ }$  

Wówczas:

$\alpha ={90}^{\circ }-\gamma \text{ oraz }\phi ={90}^{\circ }-\gamma$  

Z tego wynika, że:

$\phi =\alpha$  

Oznacza to, że otrzymujemy:

$\frac{1}{n_f}\le \sin \phi \le \frac{1}{n_c}$  

$\frac{1}{1,53}\le \sin \phi \le \frac{1}{1,51}$  

$0,6536\le \sin \phi \le 0,6623$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\sin {40}^{\circ }=0,6428$  

$\sin {41}^{\circ }=0,6561$  

$\sin {42}^{\circ }=0,6691$  

Zauważmy, że kąt $\phi$  będzie większy od ${40}^{\circ }$  oraz mniejszy od ${42}^{\circ }$ . Oszacujmy wartość tego kąta z dokładnością co do minut. Oszacujmy dolną granicę. Wiemy że $\sin \phi \ge 0,6536$ , czyli jeżeli:

$\sin {41}^{\circ }-\sin {40}^{\circ }=0,6561-0,6428=0,0133\text{ oraz }0,6536-0,6428=0,0108$  

Z tego wynika, że:

$\frac{0,0108}{0,0133}\cdot 1^{\circ }\approx 0,81\cdot 1^{\circ }=0,81\cdot 60{}^{\prime }=48,6{}^{\prime }\approx 50{}^{\prime }$  

Oznacza to, że $\phi \ge {40}^{\circ }50{}^{\prime }$ . Oszacujmy górną granicę. Wiemy że $\sin \phi \le 0,6623$ , czyli:

$\sin {42}^{\circ }-\sin {41}^{\circ }=0,6691-0,6561=0,013\text{ oraz }0,6623-0,6561=0,0062$  

Z tego wynika, że:

$\frac{0,0062}{0,013}\cdot 1^{\circ }\approx 0,5\cdot 1^{\circ }=0,5\cdot 60{}^{\prime }=30{}^{\prime }$  

Oznacza to, że $\phi \le {41}^{\circ }30{}^{\prime }$ .

Odp.: Wartość kąta $\phi$  powinna zawierać się w przedziale ${40}^{\circ }50{}^{\prime }\le \phi \le {41}^{\circ }30{}^{\prime }$ .