Dane:

$m_0=40mg$  

$\Delta m=37,5mg$  

$T=10\text{dni}$  

Szukane:

$t=?$  

Rozwiązanie:

Znamy ilość pierwiastka, która uległa rozpadowi. Z tego wynika, że masa preparatu, która pozostała ma postać:

$m=m_0-\Delta m$  

Liczbę cząsteczek substancji możemy przedstawić zależnością:

$N=\frac{m}{\mu }\cdot N_A$  

gdzie m jest masą substancji, µ jest masą molową substancji, N_A jest liczbą Avogadro. Oznacza to, że liczbę cząsteczek preparatu przed i po rozpadzie możemy przedstawić zależnościami:

$N\left(t\right)=\frac{m}{\mu }\cdot N_A\text{ oraz }{N}_0=\frac{m_0}{\mu }\cdot N_A$  

Liczbę obiektów pozostałych po pewnym czasie w wyniku połowicznego rozpadu początkowej liczby obiektów przedstawiamy wzorem:

$N\left(t\right)=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$  

gdzie N(t) jest liczbą obiektów pozostałą po pewnym czasie t, N0 jest początkową liczbą obiektów, T jest czasem połowicznego rozpadu. Z tego wynika, że:

$N\left(t\right)=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$  

$\frac{m}{\mu }\cdot N_A=\frac{m_0}{\mu }\cdot N_A\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\mid \cdot \frac{\mu }{N_A}$  

$m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$  

$m_0-\Delta m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\mid :m_0$  

$\frac{m_0-\Delta m}{m_0}=2^{-\frac{t}{T}}$  

Wstawiamy dane liczbowe:

$\frac{40mg-37,5mg}{40mg}=2^{-\frac{\mathbf{t}}{10\text{dni}}}$  

$\frac{2,5mg}{40mg}=2^{-\frac{\mathbf{t}}{10\text{dni}}}$  

$\frac{1}{16}=2^{-\frac{\mathbf{t}}{10\text{dni}}}$  

$\frac{1}{2^4}=2^{-\frac{\mathbf{t}}{10\text{dni}}}$  

$2^{-4}=2^{-\frac{\mathbf{t}}{10\text{dni}}}$  

$-4=-\frac{\mathbf{t}}{10\text{dni}}\mid \cdot 10\text{dni}$  

$-4\cdot 10\text{dni}=-\mathbf{t}\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\mathbf{t}=40\text{dni}$  

Odp.: Preparat rozpadał się 40 dni.