Dane:

$d=10cm={10}^{-1}m=$  

$\lambda =0,2nm=0,2\cdot {10}^{-9}m=2\cdot {10}^{-10}m$  

$h=6,62\cdot {10}^{-34}J\cdot s$  

$c=3\cdot {10}^8\frac{m}{s}$  

$e=1,6\cdot {10}^{-19}C$  

$m=9,1\cdot {10}^{-31}kg$  

 

$a)$  

W lampie rentgenowskiej minimalną długość fali możemy opisać za pomocą wzoru:

${\lambda }_{\text{min}}=\frac{h\cdot c}{e\cdot U}$  

gdzie λ_min jest minimalną długością fali, U jest napięciem pomiędzy katodą i anodą lampy, h jest stałą Plancka, c jest prędkością światła, e jest wartością ładunku elementarnego. Z tego wynika, że napięcie pomiędzy elektrodami lampy będzie miało postać:

$\lambda =\frac{hc}{eU}\mid \cdot U$

$\lambda U=\frac{hc}{e}\mid :\lambda$

$U=\frac{hc}{e\lambda }$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U=\frac{6,62\cdot {10}^{-34}J\cdot \sout{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{\sout{s}}}{1,6\cdot {10}^{-19}C\cdot 2\cdot {10}^{-10}m}=\frac{19,86\cdot {10}^{-26}J\cdot \sout{m}}{3,2\cdot {10}^{-29}C\cdot \sout{m}}=$  

$=6,20625\cdot {10}^3\frac{J}{C}\approx 6,2\cdot {10}^{3}V=6,2kV$  

Odp.: Napięcie, jakie należy przyłożyć do elektrod lampy wynosi około  $6,2kV.$  

 

$b)$  

Natężenie pola elektrostatycznego obliczamy korzystając z wzoru:

$E=\frac{U}{d}$  

gdzie E jest natężeniem pola elektrostatycznego o napięciu U pomiędzy dwoma powierzchniami odległymi od siebie o d.  Wówczas:

$E=\frac{U}{d}$  

$E=\frac{\frac{hc}{e\lambda }}{d}$  

$E=\frac{hc}{ed\lambda }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E=\frac{6,62\cdot {10}^{-34}J\cdot \sout{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{\sout{s}}}{1,6\cdot {10}^{-19}C\cdot {10}^{-1}m\cdot 2\cdot {10}^{-10}m}=\frac{19,86\cdot {10}^{-26}J\cdot \sout{m}}{3,2\cdot {10}^{-30}C\cdot m^{\sout{2}}}=$  

$=6,20625\cdot {10}^4\frac{J}{C\cdot m}\approx 62\cdot {10}^3\frac{V}{m}=62\frac{kV}{m}$  

Odp.: Natężenie pola pomiędzy elektrodami lampy wynosi około  $62\frac{kV}{m}.$  

 

$c)$  

Energia kinetyczna będzie równoważyć energię elektryczną . Energię kinetyczną możemy przedstawić wzorem:

$E_k=\frac{m\cdot v^2}{2}$  

gdzie Ek jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się w prędkością v. Dla naszego przypadku poruszającym ciałem jest elektron. Energię elektryczną przedstawiamy wzorem:

$E=q\cdot U$  

gdzie E jest energia z jaką porusza się ładunek o wartości q przyspieszony napięciem U. W naszym przypadku ładunkiem jest elektron, czyli mamy:

$E=eU$  

gdzie e jest wartością ładunku elektronu. Z tego wynika, że prędkość jaką poruszają się elektron osiągnie uderzając w anodę ma postać:

$E_k=E$  

$\frac{m{v}^2}{2}=eU\mid \cdot 2$  

$m{v}^2=2eU\mid :m$  

$v^2=\frac{2eU}{m}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$  

Elektron w polu elektrostatycznym porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z zerową prędkością początkową.  Prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$v_k=v_p+at$  

gdzie v_k jest prędkością końcową ciała, v_p jest prędkością początkową ciała, a jest przyspieszeniem z jakim poruszało się to ciało, t jest czasem ruchu ciała. Z tego wynika, że przyspieszenie elektronu będzie miało postać:

$v=0+at\mid :t$  

$\frac{v}{t}=a$  

Drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{p}t+\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie s jest drogą jaką przebyło ciało, v_p jest prędkością początkową z jaką poruszało się to ciało, a jest przyspieszeniem z jakim poruszało się ciało, t jest czasem ruchu tego ciała. Korzystając z tej zależności wyznaczmy czas ruchu elektronu:

$d=0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$  

$d=\frac{1}{2}\cdot \frac{v}{\sout{t}}\cdot t^{\sout{2}}$  

$d=\frac{1}{2}vt\mid \cdot 2$  

$2d=vt$  

$vt=2d\mid :v$  

$t=\frac{2d}{v}$  

$t=\frac{2d}{\sqrt{\frac{2eU}{m}}}$  

$t=2d\cdot \sqrt{\frac{m}{2eU}}$  

$t=d\cdot \sqrt{{}^2\sout{4}\cdot \frac{m}{{\sout{2}}_{1}eU}}$  

$t=d\cdot \sqrt{\frac{2m}{eU}}$  

$t=d\cdot \sqrt{\frac{2m}{\sout{e}\cdot \frac{hc}{\sout{e}\lambda }}}$  

$t=d\cdot \sqrt{\frac{2m\lambda }{hc}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t={10}^{-1}m\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}kg\cdot 2\cdot {10}^{-10}m}{6,62\cdot {10}^{-34}J\cdot \sout{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{\sout{s}}}}={10}^{-1}m\cdot \sqrt{\frac{36,4\cdot {10}^{-41}kg\cdot m}{19,86\cdot {10}^{-26}J\cdot m}}=$  

$={10}^{-1}m\cdot \sqrt{\frac{364\cdot {10}^{-42}\sout{kg\cdot m}}{19,86\cdot {10}^{-26}\sout{kg}\cdot \frac{m^2}{s^2}\cdot \sout{m}}}\approx {10}^{-1}m\cdot \sqrt{18,328\cdot {10}^{-16}\frac{s^2}{m^2}}\approx$  

$\approx {10}^{-1}\sout{m}\cdot 4,28\cdot {10}^{-8}\frac{s}{\sout{m}}=4,28\cdot {10}^{-9}s$  

Odp.: Czas przebiegu elektronu między katodą, a anodą wynosi około  $4,28\cdot {10}^{-9}s.$  

 

$d)$  

Z zależności wyznaczonych w poprzednim podpunkcie otrzymujemy, że:

$a=\frac{v}{t}$  

$a=\frac{v}{\frac{2d}{v}}$  

$a=\frac{v^2}{2d}$  

$a=\frac{{\left(\sqrt{\frac{2eU}{m}}\right)}^2}{2d}$  

$a=\frac{\frac{\sout{2}eU}{m}}{\sout{2}d}$  

$a=\frac{eU}{dm}$  

$a=\frac{\sout{e}\cdot \frac{hc}{\sout{e}\lambda }}{dm}$  

$a=\frac{hc}{\lambda dm}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a=\frac{6,62\cdot {10}^{-34}J\cdot \sout{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{\sout{s}}}{2\cdot {10}^{-10}m\cdot {10}^{-1}m\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}kg}=\frac{19,86\cdot {10}^{-26}J\cdot m}{18,2\cdot {10}^{-42}kg\cdot m^2}=$  

$=\frac{19,86\cdot {10}^{-26}\sout{kg}\cdot \frac{\sout{m^2}}{s^2}\cdot m}{18,2\cdot {10}^{-42}\sout{kg\cdot m^2}}\approx 1,0912\cdot {10}^{16}\frac{m}{s^2}\approx {10}^{16}\frac{m}{s^2}$  

Odp.: Przyspieszenie elektronu wynosi około  ${10}^{16}\frac{m}{s^2}.$