Dane:

Masa protonu:  $m_p=m$  

Masa cząstki α:  $m_{\alpha }=4m$  

Ładunek protonu:  $q_p=e$  

Ładunek cząstki α:  $q_{\alpha }=2e$   

Szukane:

$\frac{v_p}{v_{\alpha }}=?$  

$\frac{p_p}{p_{\alpha }}=?$  

Rozwiązanie:

Pracę wykonaną w polu elektrostatycznym przez napięcie możemy przedstawić zależnością:

$W=qU$  

gdzie W jest pracą wykonaną przez napięcie U na ładunku q. Wiemy, że każda cząstka przebywa to samo napięcie przyspieszające, czyli możemy zapisać, że praca wykonana przez każdą z cząstek ma postać:

$W_{\alpha }=q_{\alpha }U\text{ oraz }{W}_p=q_{p}U$  

Praca wykonana przy przyspieszaniu cząstek równa jest zmianie energii kinetycznej każdej z cząstek. Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie E_k jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Wówczas energia kinetyczna każdej z cząstek będzie miała postać:

$E_{k\alpha }=\frac{m_{\alpha }{v}_{\alpha }^2}{2}\text{ oraz }{E}_{kp}=\frac{m_p{v}_p^2}{2}$  

Wówczas otrzymujemy, że prędkość protonu ma postać:

$E_{kp}=W_p$  

$\frac{m_p{v}_p^2}{2}=q_{p}U\mid \cdot 2$  

$m_p{v}_p^2=2q_{p}U\mid :m_p$  

$v_p^2=\frac{2q_{p}U}{m_p}\mid \sqrt{}$  

$v_p=\sqrt{\frac{2q_{p}U}{m_p}}$  

$v_p=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$  

$v_p=v$  

Natomiast prędkość cząstki α będzie miała postać:

$E_{k\alpha }=W_{\alpha }$  

$\frac{m_{\alpha }{v}_{\alpha }^2}{2}=q_{\alpha }U\mid \cdot 2$  

$m_{\alpha }{v}_{\alpha }^2=2q_{\alpha }U\mid :m_{\alpha }$  

$v_{\alpha }^2=\frac{2q_{\alpha }U}{m_{\alpha }}\mid \sqrt{}$  

$v_{\alpha }=\sqrt{\frac{2q_{\alpha }U}{m_{\alpha }}}$

$v_{\alpha }=\sqrt{\frac{2\cdot 2eU}{4m}}$

$v_{\alpha }=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{2eU}{m}}$

$v_{\alpha }=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{\frac{2eU}{m}}$

$v_{\alpha }=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot v$  

$v_{\alpha }=\frac{v}{\sqrt{2}}$  

Obliczamy stosunek prędkości:

$\frac{v_p}{v_{\alpha }}=\frac{v}{\frac{v}{\sqrt{2}}}$  

$\frac{v_p}{v_{\alpha }}=\sqrt{2}$  

Pęd ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$p=m\cdot v$  

gdzie p jest pędem ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Pęd protonu będzie miał postać:

$p_p=m_p{v}_p$  

$p_p=mv$  

Pęd cząstki α będzie miał postać:

$p_{\alpha }=m_{\alpha }{v}_{\alpha }$  

$p_{\alpha }=4m\frac{v}{\sqrt{2}}$  

$p_{\alpha }=\frac{4}{\sqrt{2}}mv$  

$p_{\alpha }=\frac{4\sqrt{2}}{2}mv$  

$p_{\alpha }=2\sqrt{2}mv$  

Wówczas stosunek pędów wynosi:

$\frac{p_p}{p_{\alpha }}=\frac{mv}{2\sqrt{2}mv}$  

$\frac{p_p}{p_{\alpha }}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$