Na osi X w odległości...- Zadanie *20.25.: Repetytorium i zbiór zadań z fizyki. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dane:

$Q_{1} = - 1 μ C$

$Q_{2} = 2 μ C$

Zagadnienia teoretyczne:

Rozwiązując to zadanie będziemy korzystać z definicji potencjału pola elektrostatycznego oraz zasady superpozycji potencjałów pól. Potencjał pola elektrostatycznego możemy przedstawić wzorem:

$V = \frac{k \cdot Q}{r}$

gdzie V jest potencjałem pola elektrostatycznego, k jest współczynnikiem proporcjonalności, Q jest ładunkiem źródłowym, r jest odległością ładunku źródłowego od miejsca badania potencjału pola elektrostatycznego. Jeżeli pole elektrostatyczne wytwarzane jest przez kilka ładunków to zgodnie z zasada superpozycji pól jego potencjał w badanym punkcie jest sumą algebraiczną wszystkich potencjałów pochodzących od poszczególnych ładunków:

$V = i = 1 \sum V_{i}$

gdzie i jest numerem poszczególnego ładunku.

Przyjmijmy również, że punkt, w którym badamy potencjał pola oznaczymy poprzez A.

Zauważmy również, że stosunek wartości ładunków wynosi:

$\frac{Q _{2}}{Q _{1}} = \frac{2 μ C}{- 1 μ C}$

$\frac{Q _{2}}{Q _{1}} = - 2$

JEŻELI ODLEGŁOŚĆ x JEST ODLEGŁOŚCIĄ OD ŁADUNKU UJEMNEGO

$przypadek 1 .$

Z tego wynika, że potencjał pola pochodzący od każdego z ładunków ma postać:

$V_{1} = \frac{k Q _{1}}{x} oraz V_{2} = \frac{k Q _{2}}{d + x}$

Wówczas zgodnie z zasadą superpozycji otrzymujemy:

$V = V_{1} + V_{2}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x} + \frac{k Q _{2}}{d + x}$

$V = \frac{k Q _{1} ( d + x )}{x ( d + x )} + \frac{k Q _{2} x}{x ( d + x )}$

$V = \frac{k Q _{1} ( d + x ) + k Q _{2} x}{x ( d + x )}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( d + x )} \cdot [d + x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} x]$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( d + x )} \cdot [d + (1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x]$

Wówczas dla poszczególnych podpunktów otrzymujemy, że:

$a) V > 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d + x )} \cdot [d + (1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x] > 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$d + (1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x < 0$

$d + (1 - 2) x < 0 ∣ - d$

$- x < - d ∣ \cdot (- 1)$

$x > d$

$b) V < 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d + x )} \cdot [d + (1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x] < 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$d + (1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x > 0$

$d + (1 - 2) x > 0 ∣ - d$

$- x > - d ∣ \cdot (- 1)$

$x < d$

$c) V = 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d + x )} \cdot [d + (1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x] = 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

$d + (1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x = 0$

$d + (1 - 2) x = 0 ∣ - d$

$- x = - d ∣ \cdot (- 1)$

$x = d$

$przypadek 2 .$

Z tego wynika, że potencjał pola pochodzący od każdego z ładunków ma postać:

$V_{1} = \frac{k Q _{1}}{x} oraz V_{2} = \frac{k Q _{2}}{d - x}$

Wówczas zgodnie z zasadą superpozycji otrzymujemy:

$V = V_{1} + V_{2}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x} + \frac{k Q _{2}}{d - x}$

$V = \frac{k Q _{1} ( d - x ) + k Q _{2} x}{x ( d - x )}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [d - x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} x]$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [d + (\frac{Q _{2}}{Q _{1}} - 1) x]$

Wówczas dla poszczególnych podpunktów otrzymujemy, że:

$a) V > 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [d + (\frac{Q _{2}}{Q _{1}} - 1) x] > 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$d + (\frac{Q _{2}}{Q _{1}} - 1) x < 0$

$d + (- 2 - 1) x < 0 ∣ - d$

$- 3 x < - d ∣ : (- 3)$

$x > \frac{1}{3} d$

$b) V < 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [d + (\frac{Q _{2}}{Q _{1}} - 1) x] < 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$d + (\frac{Q _{2}}{Q _{1}} - 1) x > 0$

$d + (- 2 - 1) x > 0 ∣ - d$

$- 3 x > - d ∣ : (- 3)$

$x < \frac{1}{3} d$

$c) V = 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [d + (\frac{Q _{2}}{Q _{1}} - 1) x] = 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

$d + (\frac{Q _{2}}{Q _{1}} - 1) x = 0$

$d + (- 2 - 1) x = 0 ∣ - d$

$- 3 x = - d ∣ : (- 3)$

$x = \frac{1}{3} d$

$przypadek 3 .$

Z tego wynika, że potencjał pola pochodzący od każdego z ładunków ma postać:

$V_{1} = \frac{k Q _{1}}{x} oraz V_{2} = \frac{k Q _{2}}{x - d}$

Wówczas zgodnie z zasadą superpozycji otrzymujemy:

$V = V_{1} + V_{2}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x} + \frac{k Q _{2}}{x - d}$

$V = \frac{k Q _{1} ( d - x ) + k Q _{2} x}{x ( x - d )}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [x - d + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} x]$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [(\frac{Q _{2}}{Q _{1}} + 1) x - d]$

Wówczas dla poszczególnych podpunktów otrzymujemy, że:

$a) V > 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [(\frac{Q _{2}}{Q _{1}} + 1) x - d] > 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$(\frac{Q _{2}}{Q _{1}} + 1) x - d < 0$

$(- 2 + 1) x - d < 0 ∣ + d$

$- x < d ∣ \cdot (- 1)$

$x > - d$

$b) V < 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [(\frac{Q _{2}}{Q _{1}} + 1) x - d] < 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$(\frac{Q _{2}}{Q _{1}} + 1) x - d > 0$

$(- 2 + 1) x - d > 0 ∣ + d$

$- x > d ∣ \cdot (- 1)$

$x < - d$

$c) V = 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [(\frac{Q _{2}}{Q _{1}} + 1) x - d] = 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

$(\frac{Q _{2}}{Q _{1}} + 1) x - d = 0$

$(- 2 + 1) x - d = 0 ∣ + d$

$- x = d ∣ \cdot (- 1)$

$x = - d$

JEŻELI ODLEGŁOŚĆ x JEST ODLEGŁOŚCIĄ OD ŁADUNKU DODATNIEGO

$przypadek 1 .$

Z tego wynika, że potencjał pola pochodzący od każdego z ładunków ma postać:

$V_{1} = \frac{k Q _{1}}{d + x} oraz V_{2} = \frac{k Q _{2}}{x}$

Wówczas zgodnie z zasadą superpozycji otrzymujemy:

$V = V_{1} + V_{2}$

$V = \frac{k Q _{1}}{d + x} + \frac{k Q _{2}}{x}$

$V = \frac{k Q _{1} x + k Q _{2} ( d + x )}{x ( d + x )}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( x + d )} \cdot [x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} (d + x)]$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( x + d )} \cdot [(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d]$

Wówczas dla poszczególnych podpunktów otrzymujemy, że:

$a) V > 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x + d )} \cdot [(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] > 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d < 0$

$(1 - 2) x - 2 d < 0 ∣ + 2 d$

$- x < 2 d ∣ \cdot (- 1)$

$x > - 2 d$

$b) V < 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x + d )} \cdot [(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] < 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d > 0$

$(1 - 2) x - 2 d > 0 ∣ + 2 d$

$- x > 2 d ∣ \cdot (- 1)$

$x < - 2 d$

$c) V = 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x + d )} \cdot [(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] = 0 ∣ \cdot \frac{x ( d + x )}{k Q _{1}}$

$(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d = 0$

$(1 - 2) x - 2 d = 0 ∣ + 2 d$

$- x = 2 d ∣ \cdot (- 1)$

$x = - 2 d$

$przypadek 2 .$

Z tego wynika, że potencjał pola pochodzący od każdego z ładunków ma postać:

$V_{1} = \frac{k Q _{1}}{d - x} oraz V_{2} = \frac{k Q _{2}}{x}$

Wówczas zgodnie z zasadą superpozycji otrzymujemy:

$V = V_{1} + V_{2}$

$V = \frac{k Q _{1}}{d - x} + \frac{k Q _{2}}{x}$

$V = \frac{k Q _{1} x + k Q _{2} ( d - x )}{x ( d - x )}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} (d - x)]$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [(1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d]$

Wówczas dla poszczególnych podpunktów otrzymujemy, że:

$a) V > 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [(1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] > 0 ∣ \cdot \frac{x ( d - x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$(1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d < 0$

$(1 + 2) x - 2 d < 0 ∣ + 2 d$

$3 x < 2 d ∣ : 3$

$x < \frac{2}{3} d$

$b) V < 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [(1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] < 0 ∣ \cdot \frac{x ( d - x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$(1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d > 0$

$(1 + 2) x - 2 d > 0 ∣ + 2 d$

$3 x > 2 d ∣ : 3$

$x > \frac{2}{3} d$

$c) V = 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( d - x )} \cdot [(1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] = 0 ∣ \cdot \frac{x ( d - x )}{k Q _{1}}$

$(1 - \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d = 0$

$(1 + 2) x - 2 d = 0 ∣ + 2 d$

$3 x = 2 d ∣ : 3$

$x = \frac{2}{3} d$

$przypadek 3 .$

Z tego wynika, że potencjał pola pochodzący od każdego z ładunków ma postać:

$V_{1} = \frac{k Q _{1}}{x - d} oraz V_{2} = \frac{k Q _{2}}{x}$

Wówczas zgodnie z zasadą superpozycji otrzymujemy:

$V = V_{1} + V_{2}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x - d} + \frac{k Q _{2}}{x}$

$V = \frac{k Q _{1} x + k Q _{2} ( x - d )}{x ( x - d )}$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [x + \frac{Q _{2}}{Q _{1}} (x - d)]$

$V = \frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x - \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d]$

Wówczas dla poszczególnych podpunktów otrzymujemy, że:

$a) V > 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x - \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] > 0 ∣ \cdot \frac{x ( d - x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x - \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d < 0$

$(1 - 2) x + 2 d < 0 ∣ - 2 d$

$- x < - 2 d ∣ \cdot (- 1)$

$x > 2 d$

$b) V < 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x - \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] < 0 ∣ \cdot \frac{x ( d - x )}{k Q _{1}}$

Wiemy, że: $Q_{1} < 0 :$

$(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x - \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d > 0$

$(1 - 2) x + 2 d > 0 ∣ - 2 d$

$- x > - 2 d ∣ \cdot (- 1)$

$x < 2 d$

$c) V = 0$

$\frac{k Q _{1}}{x ( x - d )} \cdot [(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x - \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d] = 0 ∣ \cdot \frac{x ( d - x )}{k Q _{1}}$

$(1 + \frac{Q _{2}}{Q _{1}}) x - \frac{Q _{2}}{Q _{1}} d = 0$

$(1 - 2) x + 2 d = 0 ∣ - 2 d$

$- x = - 2 d ∣ \cdot (- 1)$

$x = 2 d$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.